OliForum Matematico

Sia $\Omega$ la circonferenza di centro $O$ circoscritta al triangolo $ABC$. Una circonferenza $\Gamma$ di centro $A$ interseca il segmento $BC$ nei punti $D$ ed $E$, in modo che $B$, $D$, $E$, $C$ siano distinti e in quest’ordine su $BC$. Siano $F$ e $G$ i punti di intersezione tra $\Gamma$ e $\Ome...

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con $AB>AC$. Siano $\Gamma$ la sua circonferenza circoscritta, $H$ il suo ortocentro, $F$ il piede dell’altezza relativa a $BC$, $M$ il punto medio di $BC$. Siano $Q$ e $K$ due punti su $ \Gamma $ tali che $\widehat{HQA} =\widehat{HKQ}=90°$. Si assuma che i punti $A...

Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ di interi positivi per i quali $\ \ a\,b-c,\ \ b\,c-a,\ \ c\,a-b\ \ $ sono potenze di $2$.

Sperando di fare cosa gradita (e anche di ridimensionare il probabile esodo verso AoPS :P), ripropongo qui [una traduzione dei testi de] i problemi che i Sei Virtuosi hanno affrontato oggi. Ecco il primo. Diciamo che un insieme finito $\mathcal{S}$ di punti nel piano è equilibrato se, per due qualsi...

Otterrete i più grandi risultati, guidati dalla virtù e accompagnati dalla fortuna!
Omnia summa consequemini virtute duce, comite fortuna (travisando un po' le parole della buonanima di Cicero)

Forse sono un po' in ritardo, ma mi sarebbe dispiaciuto lasciare il topic troncato con così tanti punti interrogativi... Per quanto riguarda la seconda prova posso dire che la suprema bellezza delle tracce del ministero è stata ancora più accentuata con il problema contestualizzato :lol: . Il primo ...

Spero che la mia risposta possa esserti utile (e spero anche che sia corretta... :P ) In primo luogo, i polinomi costanti $P(x)=a_0$ che risolvono l'equazione data sono $2$, ovvero $P(x)=-1$ e $P(x)=2$, infatti $a_0^2 - 2 = a_0 \Rightarrow a_0=-1 \lor a_0=2$. Consideriamo ora i polinomi a coefficien...

Mi sembra un problemetto carino. Purtroppo, per risolvero bisogna saper integrare (in effetti bastano sostituzione e parti)... Il testo è questo: Calcolare \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2n-2}}{(x^{4} - x^{2} +1)^{n}} \ dx\), con \(n\) intero positivo. Un suggerimento è (forse) nel titol...

Siete riusciti a individuare questo grado minimo?? :mrgreen: Io ho trovato qualche polinomio di grado $13$ con esattamente quegli zeri, quelle aree e quei massimi e minimi in $[-3,3]$. Uno potrebbe essere questo, se il calcolatore non ha approssimato... (lo lascio nascosto perché è esteso e inutile)...

Io ho fatto il saggio breve sulla letteratura, parlando di mondi immaginari, con tono mistico e surreale, all'incirca come i problemi di "Matematica" di domani... :mrgreen: immagino che probabilmente qua in mezzo domani io sia l'unico domani a dover fare(purtroppo) la versione... Ti auguro...

Cari quasi-ex-liceali, immagino che sarete tutti preoccupati per la prova di domani :lol: Come stanno andando gli esami? La prova di stamattina non era pessima... :P Auguri per terza prova e orale! E, dato che in questi giorni sento solo frasi come "Buona fortuna" e "In bocca al lupo&...

Visto che nessuno pubblica una soluzione, ci provo io... Sia $\{a_n\}$ un successione così definita $\begin{cases} a_1=2 \\ a_2=3 \\ a_3=3 \\ a_{n+1}=a_{n} \, a_{n-1}-a_{n-2} \end{cases}$ Dimostro per induzione la seguente uguaglianza $$a_{n}^2 + a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 = a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2} +...

Se si vogliono evitare le derivate... Sapendo che $ab+ac+bc \le a^2+b^2+c^2$, allora $\displaystyle q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}} \ge 1$. Perciò il problema si riduce a dimostrare che $\displaystyle q^2+2 +\frac{2}{q} \ge 5$. Ma $\displaystyle q^2-3+\frac{2}{q}=\frac{q^3-3q+2}{q}=\frac{(q-1)...

santilli ha scritto: [...] un metodo di risoluzione carino per questo problema

Scusate, la mia è una soluzione alquanto brutta...

$(x^7+x^3+1)^{1000}$ è un polinomio di grado $7000$, perciò può essere formato al massimo da $7001$ termini non simili. Ma $(x^7+x^3+1)^{1000}=\underbrace{(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1) \cdots (x^7+x^3+1)}_{1000}$ e quindi per qualsiasi $c=7a+3b$, con $a,b$ non negativi e $a+b \le 1000...