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Consideriamo le somme del tipo $ \pm 1\pm 4\pm 9\pm 16\cdots\pm n^2 $. Dimostrare che ogni numero intero positivo si puo` rappresentare, per una opportuna scelta dei segni e di $ n $, nel modo precedente. (Per esempio: $ 3=-1+4 $; $ 8=+1-4-9+16+25-36-49+64 $.)

jordan ha scritto:Tanto che sei arrivato a 20 e 21 perchè non hai messo 2008 e 2009?

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jordan ha scritto: Comunque.. perchè nessuno risponde? Nessuno nota niente sui denominatori?

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Siano $ a $ e $ b $ due numeri razionali positivi tali che nessuno dei due sia intero, ma $ a+b $ e' intero. Dire se e' possibile che $ a^{20}+b^{20} $ sia intero. E $ a^{21}+b^{21} $ puo' essere intero?

Se la velovita' del bambino non e' fornita, l'esercizio non si puo' fare, ovviamente. In ogni caso il principio di conservazione da utilizzare e' quello del momento angolare totale e il modo di risolverlo, a meno di piccoli abbellimenti, e' sostanzialmente quello che ho scritto.

Ciao.

Perfetto!!

Dicono che sia abbastanza conosciuto:

Sia $ N=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot\cdot\cdot 98!\cdot 99!\cdot 100! $. Si puo' togliere un fattoriale da questo prodotto in maniera tale che il numero rimanente sia un quadrato perfetto?

Buon Lavoro.

Una giostra ha il raggio di 3.0m e il momento d'inerzia di 600 kg*m^2. Mentre la giostra è ferma, un bambino di massa 20kg corre lungo la tangente al borso e salta su. Calcolare la velocità angolare della giostra. sarà semplicissimo ma boh mi viene uno strano risultato... Qui cio' che si conserva e...

Esistono interi positivi n \in \mathbb{N} tali che 2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1 sono tutti quadrati perfetti? Ci provo. Scriviamo: 1) 2n^2+1=a^2 , 2) 3n^2+1=b^2 , 3) 6n^2+1=c^2 . La 1) e la 3) ci dicono che a e c sono dispari, quindi studiando la 1) e la 3) \mod 4 abbiamo che n deve essere pari. Ma ora, ...

Se a,b,c,d,e,f sono tutti primi, trovare le soluzioni di a^2=b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 :D Il termine a primo membro non puo' essere un primo pari (cioe' a=2 ) poiche' il secondo membro sarebbe sempre maggiore del primo. Quindi a e' dispari. Ora considero l'intera equazione \mod 4 , tenendo presente il fa...

E' vero che se f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} è tale che f(f(x))=\frac{x^9}{(x^2+1)(x^6+x^4+2x^2+1)} allora f avrà sempre un unico punto fisso? :D ps. lasciatelo ai nuovi se lo fate in due secondi come mè successo.. Sia x_0 un punto fisso della f(x) , allora f(x_0)=x_0 e quindi f(f(x_0))=x_0 . Cioe',...

Si, chiarissimo. Due minuti dopo che avevo rieditato il mio post mi sono reso conto della stupidata .

Comunque Jordan, bell'esercizio tosto questo

jordan ha scritto:Esiste una soluzione olimpica che non utilizzi Bertrand?

Infatti. Ho postato il problema per vedere se qualcuno ce l'ha.

Dato un intero $ n \in \mathbb N $ qualsiasi, esiste un'altro intero $ a\in \mathbb N $ tale che valga $ n!=a^2 $?

Trovare tutte le f: \mathbb{N}\to \mathbb{N} tali che mf(n)+nf(m)=(n+m)f(n^2+m^2), \forall (m,n) \in \mathbb{N}^2 . Nb. 0 \in \mathbb{N} . :wink: Editata La riscrivo cosi' m[f(n)-f(n^2+m^2)]=n[f(n^2+m^2)-f(m)] . Ora, poiche' deve valere \forall (m,n) \in \mathbb{N}^2 , prendo m e n qualsiasi, diver...

Se \forall n>1 , \exists p primo tale che n< p < 2n , allora pongo n=p_{n} . Cosi', dato il postulato, avro' almeno un'altro primo (che e' per definizione proprio il successivo a p_{n} , cioe' p_{n+1} ) tale che p_{n}< p_{n+1}<2p_n . Quindi la tesi. PS. Nel postulato di Bertrand non c'e' il segno \l...