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$n$ è un qualunque multiplo di $8$ (quindi anche di $16$, se $k$ è pari). Comunque, il caso $k$ dispari sarebbe già "metà" del problema

Ammetti anche di poter mostrare che $\sigma(1) \neq p-1$. Potresti comunque porre $\sigma(p)=p-1$, no?

Riguardo la tua domanda, si, puoi trovare tutti e soli i primi che soddisfano la condizione sopra (nota che: alcuni funzionano, alcuni no!)

polarized ha scritto:io claimo che non servano ipotesi aggiuntive

Prova con $n=7$

Osservazione 1: Esistono $10$ divisori di $2016$ che hanno i suoi stessi divisori primi. Infatti $2016=2^5\cdot 3^2 \cdot 7$. Ora, a prescindere dal tipo di permutazione, almeno due di questi avranno un esponente $\ge5$ e ciò farà sì che $2016$ li divida, e in particolare divida la loro differenza ...

Own. (a) Dato un intero positivo $n$ multiplo di $8$, sia $\sigma$ una permutazione di $\{1,\ldots,n\}$. Dimostrare che esistono $1\le i<j\le n$ tali che $n$ divide $i^{\sigma(i)}-j^{\sigma(j)}$. (b) Dato un intero positivo $n$ multiplo di $4$, sia $\sigma$ una permutazione di $\{1,\ldots,n\}$. Dim...

Own. Sia $p$ un primo dispari. (a) Esiste una permutazione $\sigma$ di $\{1,\ldots,p-1\}$ tale che $\{\sigma(1),\ldots,(p-1)\sigma(p-1)\}$ è uguale a $\{1,\ldots,p-1\}$ modulo $p$? (b) Esiste una permutazione $\nu$ di $\{1,\ldots,p-1\} \times \{1,2\}$ tale che $\{\nu(1,x),\ldots,(p-1)\nu(p-1,x)\}$ ...

Dato un primo $p$ dispari, mostrare che
$$
\sum_{k = 1}^{p-1} k^{2p-1} \equiv \binom{p+1}{2} \pmod{p^2}.
$$

Si, esatto

Own. Sia $\sigma$ una permutazione di $\{1,\ldots,2016\}$. Dimostrare che esistono $1\le i<j\le 2016$ tali che $2016$ divide $i^{\sigma(i)}-j^{\sigma(j)}$.

Mi pare che fila tutto, molto bene

In breve, un grafo completo a 6 vertici con i collegamenti di 2 possibili colori deve contenere un triangolo monocromatico. E per quello che hai scritto alla prima riga il colore di questo triangolo deve essere quello di "collegato"

Siano dati sei reali irrazionali. Mostrare che se ne possono scegliere tre tali che tutte le somme a due a due sono irrazionali.

Probabilmente i seguenti: 1. L'insieme delle tutte le potenze di primi ha densità (asintotica) 0; 2. L'insieme delle potenze (con esponente $\ge 2$) ha densità (asintotica) 0; 3. L'insieme di tutti gli interi esprimibili come somma di due quadrati ha densità (asintotica) 0. Vedi anche qui . [In real...

@Mathiae RiccardoKelso: si l'insieme $\bigcup_{n\ge 1}[(2n)!,(2n+1)!]$ funziona. Ora, chi fa vedere a mano che effettivamente esistono gli $n$ ed $m$?

@Rho33: si l'idea è corretta, e non è barare, ammesso di sapere cos'è un limite

[Edit: Avevo letto male, è tutto ok]

Dimostrare che esiste un insieme $X$ di interi positivi con densità superiore asintotica $1$ e densità inferiore asintotica $0$. In altre parole, costruire un insieme $X$ tale che, per ogni scelta di $\varepsilon \in (0,1)$, esistono infiniti interi positivi $n$ ed $m$ tali che $$ \frac{|X\cap [1,n]...