OliForum Matematico

Io lo avevo fatto notando che se $n$ ha un fattore primo diverso da 3 deve averlo con esponente pari, quindi $n$ è un quadrato perfetto o il triplo di un quadrato perfetto: nel primo caso va bene solo $n=1$ perché deve essere un quadrato anche $n^2+3$, mentre nel secondo si prova $n=48$ e $n=27$ e s...

matpro98 ha scritto:Se non mi sbaglio sono i triangoli con l'angolo in $A$ di 120°

Non ti sbagli neanche tu... era un problema davvero idiota

Chuck Schuldiner ha scritto:che mondo sarebbe senza barbieri

un porco mondo!!

Troleito br00tal ha scritto:Ma sbaglio o non ci sono così tanti triangoli che soddisfano l'ipotesi?

No, non ti sbagli... infatti la mia soluzione passava per il capire quali sono

OK! :) Solo una piccola cosa se $\omega_1$ (non so se ho scritto bene in latex) è tangente ad $AK$, allora $O_1H_2$ sarà simile ad $O_2Q_2$ con lo stesso rapporto di $O_1H_1$ e $O_2Q_1$, da cui la tangenza di $\omega_2$ per caso intendevi dire che $\dfrac{O_1H_2}{O_2Q_2}=\dfrac{O_1H_1}{O_2Q_1}$ e ch...

wall98 ha scritto:Le circonferenze non possono essere tangenti ai prolungamenti di $ AB,BC,AC $ vero?

In realtà possono, ma questo non complica di molto il problema

Per induzione - Passaggio da $n$ a $n+1$: consideriamo la $(n+1)$-upla $a_1,a_2,...a_n,x$: dato che la disuguaglianza da dimostrare è simmetrica, possiamo porre $a_1 \le a_2 \le ... \le a_n$ e $a_1 \le x \le a_n$. Fatte queste ipotesi, abbiamo $k=\dfrac{(a_n-a_1)^2}{a_na_1}$, perché, svolgendo i con...

matpro98 ha scritto:Mi incuriosisce... solo una domanda: si dimostra con la trigonometria? Perché ancora non ne so quasi niente XD

No, basta guardare nel punto giusto e si fa in un attimo

Siano $ABC$ un triangolo, $K$ il piede della bisettrice dell'angolo in $A$, $\omega_1$ una circonferenza di centro $O_1 \in AC$ tangente ad $AB$ e $BC$, e $\omega_2$ una circonferenza di centro $O_2 \in AB$ tangente ad $AC$ e $BC$. Dimostrare che $\omega_1$ è tangente ad $AK$ se e solo se lo è $\ome...

Il triangolo $ABC$ è inscritto in $\Omega$. La bisettrice interna dell'angolo $A$ interseca $BC$ e $\Omega$ in $D$ e $L$, rispettivamente. Sia $M$ il punto medio di $BC$. Il circocerchio di $ADM$ interseca i lati $AB$ e $AC$ in $Q$ e $P$ rispettivamente. Sia $N$ il punto medio di $PQ$ e sia $H$ il ...

matpro98 ha scritto:Ho dimostrato solo il "se", mi manca il "solo se" scrivo lo stesso la mia soluzione?

Certo, anche perché sinceramente ho totalmente dimenticato come si fa il "solo se"...

teorema. in un $n$-agono ciclico inscritto, si traccino tutte le diagonali da un vertice. allora la somma dei raggi delle circonferenze inscritte negli $n-2$ triangoli ottenuti è indipendente dal vertice scelto. Tra l'altro, se non sbaglio, dovrebbe valere in generale per ogni possibile partizione ...

Dato un quadrilatero convesso $ABCD$, si ponga $S_1=r_{ABC}+r_{ACD}$ e $S_2=r_{ABD}+r_{BCD}$, dove $r_{XYZ}$ indica il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo $XYZ$.

Dimostrare che $S_1=S_2$ se e solo se $ABCD$ è ciclico

Abbiamo $p^q+19=pq^2+q^p$, ma anche $p^q-pq^2=q^p-19$. Applicando Fermat, dalla prima otteniamo $q \mid p^q+19 \Rightarrow q \mid p+19$, e dalla seconda, analogamente, $p \mid q-19$ Tenendo presenti questi due risultati, cerchiamo le soluzioni con $q \le 19$: - $q=2$ implica $p=17$: NON è una soluzi...

Ah bella la tua nuova firma, ma le lezioni di fisica hanno visto momenti ben più epici http://i.imgur.com/5y9xv0W.gif Indubbiamente, ma a priori cose come "porco mondo!!" o "ma che ridete, coglioni?" potrebbe dirle chiunque, mentre questa rende nel migliore dei modi l'essenza de...