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Lemma del giocoliere: (che non dimostro) Sia $P$ un punto sulla circonferenza circoscritta di un triangolo $ABC$ (diverso da $A,B,C$), di coordinate baricentriche $[u:v:w]$, e sia $l$ una retta passante per $P$, di coordinate baricentriche $[h:j:k]$. Allora la seconda intersezione di $l$ con la cir...

Sia $a_0,a_1,a_2,...$ una successione di numeri interi positivi tali che $(a_{i+2},a_{i+1})>a_i$ per ogni $i\geq0$.
Dimostrare che $a_n\geq 2^n$ per ogni $n\geq 0$.

Voglio dimostrare che dati 2 interi $a\geq 3$ e $k\geq 1$, esiste un intero $n$ con esattamente $k$ divisori primi t.c. $n\mid a^n+1$. Distinguo 2 casi: Se $a+1$ non è una potenza di 2, dimostro per induzione su $k$: PASSO BASE: $k=1$. Scelgo $n=q$ con $q$ primo dispari che divide $a+1$, allora $q\m...

Perfetto a te...

Sia $ABC$ un triangolo, siano $E$ ed $F$ i piedi delle altezze uscenti da $B$ e $C$ rispettivamente e sia $H$ l'ortocentro. Le rette $FE$ e $BC$ si intersecano in $U$ e la retta per il punto medio di $BC$ parallela alla bisettrice di $\angle{EUB}$ interseca $CA,AB,HC,HB$ in $P,Q,X,Y$ rispettivamente...

funzionano anche $(1,b)$ per ogni $b$...

Se $b=1$ le ipotesi valgono per ogni $a$, se invece $b=2$ devo avere che $a|2$, che vale se $a=1$ o $a=2$. Considero quindi ora il caso in cui $b$ è maggiore di 2. Sia $p$ un primo che divide $a$. Ho che $\displaystyle\upsilon_p(b!)=\sum_{i=1}^{b}{\upsilon_p(i)}=\sum_{i=1}^{\infty}{\left\lfloor \fra...

Chiamo $X'$ e $Y'$ le intersezioni fra $EF$ con $BI$ e $CI$ rispettivamente. Ho che $\angle{X'Y'C}=180^\circ -\angle{Y'EC}-\angle{ECY'}=180^\circ -(90^\circ +\frac{\alpha}{2})-\frac{\gamma}{2}=\frac{\beta}2=\angle{FBI}$, quindi $YFBI$ è ciclico e in particolare $\angle{CY'B}=\angle{IFB}=90^\circ$. A...

Praticamente equivalente alla mia..
(il problema viene da una dispensa e non so dirti la fonte originale)

Ecco qui!

Sia $ABC$ un triangolo e sia $L$ il punto medio di $B$. La parallela alla bisettrice interna di $\angle{BAC}$ passante per $L$ incontra $AB,AC$ in $X,Y$ rispettivamente. Sia $Z$ su $XY$ tale che $XY=YZ$ e sia $D$ l'intersezione delle rette $BY$ e $CZ$. Dimostra che $XY$ è parallela alla bisettrice i...

La tesi equivale a dimostrare che $IN+d(I,BC)=DN$, perchè quindi i punti di tangenza della tangente comune alle due circonferenze sarebbero alla stessa distanza da $BC$. Ma so che $IN=\frac{R}{2}-r$ (perchè la circonferenza inscritta è tangente alla circonferenza di Feuerbach), $d(I;BC)=r$ e $DN=\fr...

Voglio dimostrare che $A_1I$ è tangente alla circonferenza circoscritta ad $A_1A_2A_3$ (e cicliche), il che implica banalmente la tesi (perchè la potenza di $I$ rispetto alla circonferenza sarebbe $A_1I^2=r^2$). Chiamo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gli angoli del triangolo $A_1B_1C_1$. Dato che $A_1A_...

Vince Alice! La sua strategia è alla prima mossa sottrarre 1 da 1, $2^{n-3}$, $2^{n-2}$, $2^{n-1}$ e $2^n$ e ai suoi turni successivi sottrarre 1 agli stessi numeri a cui a sottratto 1 Bob nella mossa precedente. Durante il gioco gli ultimi 4 numeri non vengono azzerati, perchè ad ogni mossa tolgo a...

Analizzo modulo 4 e ottengo che $3^x\equiv 3$ modulo 4, quindi $x$ deve essere dispari. Riscrivo l'equazione come $y^2-3\cdot 3^{2w}=-2$ (perchè $x=2w+1$ dispari), cerco quindi le soluzioni della Pell $y^2-3t^2=-2$ tali che $t$ sia una potenza di 3. Le soluzioni sono date da $(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}...