OliForum Matematico

$ m $ ed $ n $ sono interi positivi tali che $ N = (m + ni)^3 - 107i $ è un intero positivo. Trovare $ N $.

Al solito, i diplomati non sono ammessi...

Salvatore

Rilancio: risolvere negli interi l'equazione

$ (a^2 - 1)(b^2 - 1) = c^2 + 1 $

L'avevo detto che ci sono due soluzioni...

Salvatore

ADDENDUM: e chi è in età post-olimpiadi (senza far nomi) è pregato di astenersi dal postare la soluzione per almeno 3 giorni...

Avrei preferito che tu lo lasciassi stare...
Cmq ok

Salvatore

All right!

Salvatore

Determinare tutte le funzioni $ f(n) $ dal'insieme degli interi positivi in sé tali che:

$ \displaystyle f(1) + f(2) + ... + f(n) = \frac{f(n)f(n+1)}{2} $

per ogni $ n $.

A quanto ne so, il problema è nuovo. Spero vi piaccia

Salvatore

Variazione sul tema di un problema di un vecchio giornalino. Determinare tutti gli interi positivi n (con almeno 4 divisori) tali che: n = a + b^2 + c^3 + d^4 Dove a , b , c e d sono, nell'ordine, i 4 divisori più piccoli di n . Saluti, Salvatore :wink: PS: il problema originale era la stessa richie...

Probabilmente molti la conoscono già. Determinare tutte le soluzioni intere dell'equazione

$ a^2 + b^2 + c^2 = a^2b^2 $

Ci sono almeno due tecniche di risoluzione diverse.

Ciao,
Salvatore

Dimostrare che non esistono soluzioni in numeri naturali alle due equazioni:

a) $ 41 = 2^n - 3^m $
b) $ 41 = 3^n - 2^m $

Salvatore

PS: Test Ammissione sns 1994/95

maledizione a me che vado a memoria... Grazie frengo, ho corretto.

Salvatore

Complimenti frengooooo
Fai paura...

Salvatore

Usando i cannoni: Se n è somma di 4 quadrati dispari, ognuno è congruo ad 1 (mod 4) e quindi n è divisibile per 4. Per il teorema dei quattro quadrati di Lagrange (il cannone...) tutti i numeri sono somma di 4 quadrati e, in particolare, esistono a, b, c, d interi tali che n/4 = a^2 + b^2 + c^2 + d^...

Sia $ f(x,y) $ il più grande dei tre valori $ \displaystyle x, {1 \over y}, y + {1 \over x} $. Determinare il minimo di $ f(x, y) $ e indicare per quali delle variabili esso è raggiunto.

Salvatore

Edit: Correzione (scusate...)

Supponiamo per ora x > 2 ; allora vale: (x^2)^2 < x^4 + x + 7 < (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 dove la prima disuguaglianza è ovvia e la seconda si verifica facilmente. Dunque non ci sono soluzioni per x > 2 , dato che un quadrato perfetto non può essere strettamente compreso tra due quadrati cosecuti...

Dico anche la mia, dato che è diversa. Pongo x = y + 2 p(4y + 4) = p(2y+2)p(2) Ossia, posto z=2y+2 p(2z) = p(z)p(2) per ogni z . A questo punto, se p(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0 , e posto per comodità p(2)=k abbiamo: a_n2^nz^n + ... + a_1 2 x + a_0 = ka_nz^n + ... + ka_1z + ka_0 Quindi a_i2^i = k...

Determinare tutti i polinomi $ p(x) $ a coefficienti reali tali che $ p(x^2-y^2) = p(x+y)p(x-y) $.

Ciao,
Salvatore