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Hammond

Dato un esagono convesso ABCDEF con AB=BC, CD=DE, EF=FA, dimostrare che
$ \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge \frac32 $

Hammond

Sì sì, scusa :). Allora: porto tutto a primo membro e ho 3abc + a + b + c - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0 Con un po' di smanettamenti si trova che il primo membro è uguale a a(1-b)(1-c) + b(1-c)(1-a) + c(1-a)(1-b) , e questo è sicuramente maggiore o uguale a zero, dato che lo è ciascuno dei suoi termini (pe...

Hammond

Per la terza,
$ \displaystyle \frac a{1+bc} + \frac b{1+ac} + \frac c{1+ab} \leq \frac a{1+abc} + \frac b{1+abc} + \frac c{1+abc} $

e sfruttando la prima disuguaglianza

$ a + b + c \le 2 (1 + abc) $

Hammond

Simo_the_wolf ha scritto: 1) $ a + b + c \leq abc +2 $

$ abc + 2 - a - b - c = (1 - a)(1 - b) + (1 - c)(1 - ab) \ge 0 $

Hammond

Simo_the_wolf ha scritto: 2) $ 3abc +a+b+c \geq 2 (ab+bc+ca) $

$ a - ab - ac + abc = a(1 - b) - ac(1 - b) = a(1 - b)(1 - c) \ge 0 $
(e cicliche).

Hammond

Be', dato che nelle rotazioni i vari punti del piano mantengono le posizioni reciproche, una composizione di rotazioni con più di un punto fisso è automaticamente l'identità. Ma ho paura che sia troppo facile così

Hammond

Trovare il più piccolo numero naturale n tale che comunque si colorino di giallo o di blu gli elementi di {1,2,...,n} esistono quattro interi x, y, z, w, dello stesso colore, non necessariamente distinti, tali che x + y + z = w.

(Nazionali Gran Bretagna 2004)

Hammond

Cerchiamo i sottoinsiemi di 6 elementi che *non* contengono due numeri consecutivi. Sottraendoli al totale dei sottoinsiemi di 6 elementi avremo il risultato. Rappresentiamo i numeri da 1 a 36 con una 'stringa' di 36 simboli e indichiamo con 'X' i numeri che fanno parte del sottoinsieme, con 'o' gli...

Hammond

Per simmetria, la probabilità che Maria faccia più teste è uguale alla probabilità che faccia più croci. Per qualsiasi configurazione di lanci si verifica una e una sola di queste due situazioni (è impossibile che non faccia nè più teste nè più croci, ed è impossibile che faccia contemporaneamente p...

Hammond

piever ha scritto:È uscita la lista dei convocati allo stage di Pisa.

Nooooo, per un punto

Orsù, qualcuno che si ritiri, così mi ripescano

Hammond

Dimostrare che per a, b, c reali positivi

$ \displaystyle \frac1a + \frac1b + \frac1c \ge \frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a} \ge \frac{9}{a+b+c} $

Hammond

cauchy-schwarz:
porto a primo membro a+b+c+d, a questo punto applico c.s:
gli a_i sono le radici di a, b, c, d; i b_i sono i loro reciproci moltiplicati rispettivamente per 1, 1, 2, 4.

Hammond

come non detto

Hammond

D'oh!

scusa, me l'ero perso il tuo...
Comunque per come l'ho risolto io si generalizza abbastanza facilmente.

Hammond

Dato un intero positivo n, dimostrare che esiste un multiplo di n che in base 10 si scrive solo con le cifre 0 e 1.

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Rapporti esagonali

Re: Inequality rebirth!!

Re: Inequality rebirth!!

Gialloblu'

Re: Stage senior Pisa 2006

Problema Cinque Di Un Foglio Volante

multipli "binari"