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Si risolve facilmente da questo fatto.
Prendiamo ABC e XYZ e un punto P.
Supponiamo che
AP sia perpendicolare a YZ
BP sia perpendicolare a ZX
CP sia perpendicolare a XY.
Allora esiste un punto Q tale che:
XQ sia perpendicolare a BC
YQ sia perpendicolare a CA
ZQ sia perpendicolare a AB.

Il ragionamento di Sir Yussen, in effetti, non ha molto senso.

Non è difficile costruire controesempi.
Prendiamo, per a=6 e b=2, la seguente g(x):
se x=0 (mod3) allora g(x)=x+3;
se x=1 (mod3) allora g(x)=x+4;
se x=2 (mod3) allora g(x)=x+2.
E a me non pare proprio polinomiale.

Altrimenti anche con le baricentriche, con una punta di sintetica ed un pizzico di algebra. Si prova che i punti medi delle altezze (chiamiamoli H_A\ H_B \ H_C ) stanno sui lati del triangolo mediale M_AM_BM_C , in posizioni tali per cui M_AH_A\ \ M_BH_B\ \ M_CH_C concorrono nel coniugato isotomico ...

Comunque questo problema si presta molto bene alle trilineari. Le simmediane si incontrano in: [tex]\left[ a:b:c\right][/tex]. Punto medio di BC: \left[ 0:c:b\right] . Punto medio dell'altezza relativa ad A: \left[ 1:cos\gamma :cos\beta \right] . Calcolo, sapendo che a=b\cdot cos\gamma + c\cdot cos\...

Ops! Ho scritto Le Moine sempre attaccato!!!

Anche a me sarebbe venuta in mente l'interpretazione geometrica. Volevo comunque accennare ad un altro metodo che si usa spesso (praticamente quello di cui parla Maioc92) a partire dal primo passaggio di dario2994. Il polinomio, fissate due variabili (indipendenti fra loro) e lasciata variare solo u...

Wlog S=1.
$ x^x=e^{xlnx} $.
Allora la tesi diventa $ $e^{\sum_{i=1}^n x_ilnx_i}\geq e^{ln(\frac{1}{n})} $.
Ma $ y=xlnx $ è convessa (derivata seconda: 1/x) e dunque vale:
$ $\frac{\sum^n_{i=1} x_ilnx_i}{n}\geq\frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}ln\left(\frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}\right) $.
Da cui la tesi.

Sia ABCD convesso e O l'intersezione delle sue diagonali (AC e BD).
Siano $ \ \alpha\ \ \ \beta\ \ \ \gamma\ \ \ \delta\ $ gli angoli in A, B, C, D rispettivamente.
Si ipotizzi:

$ OA\cdot sin\alpha +OC\cdot sin\gamma =OB\cdot sin\beta +OD\cdot sin\delta $.

Si provi che allora ABCD ciclico.

Uhm, un esercizio presente in un plico (non proposto!!) di fogli ricevuto a Pavia (Stage Junior).........eccolo.
Ups! era un (Shortlist IMO,97).
Apro un nuovo topic.

Hihihihi, volendo puoi dire: per n coppie del tipo (1,12) (2,8) (3,32) (4,28) (5,112) passa un polinomio di grado minore o uguale a n. In questo caso: \frac{1}{2}(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-\frac{4}{3}(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)+8(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)-\frac{14}{3}(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)+\frac{14}{3}(x-2)(x-3)(x-4)(x-...

@anèr: la Nutella è finita. L'abbiamo (io, Giove e Ludo) spalmata su fette di mela. Molto dolce, anche se non devi aspettare troppo a mettercela, perché si ossidano. La bottigliona da 10 litri, invece, non siamo riusciti a finirla completamente (mancava ancora circa un litro). Per quanto riguarda il...

Chiamiamo gli angoli orientati che formano AB,BC,CD,DA con una retta a caso (chiamiamola 'Inutile') rispettivamente a,b,c,d. Poniamo che AB e CD si intersechino in X e BC, DA in Y. Prendiamo le rette r e s che passano per X e Y rispett. e formano con 'Inutile' angoli di (a+x) e (b+y). Sia P il punto...

Basta che scrivi a^3+b^3+c^3 in funzione di a+b+c , ab+bc+ca e \ abc\ . Non è difficile. A questo punto sfrutti il fatto che le tre quantità che ti ho scritto sono pari, rispettivamente, a: 0, -17, +19. Questo è quello che di solito si fa. Se proprio vuoi sbizzarirti, per capire meglio come funziona...

Dai, un po' di brio!
Propongo altre due piste:
-lemma ABC
-scrivere $ 2sp=q^2-2\sum a^2b^2 $.