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Un insieme di naturali è detto k-poroso se non contiene $ $k$ $ interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi k-porosi dell’insieme {1, 2, 3, …, n}

(Own)

Problema 64. Sia S(n) la somma delle cifre di un intero positivo n. Quanto vale al massimo \displaystyle~\frac{S(n)}{S(16n)} ? Fatto 1: S(10^ka)=S(a) [] Fatto 2: S(a)+S(b)\geq S(a+b) Dim: Se 10>a,b a+b\geq S(a+b) , quindi se applico la disuguaglianza su ogni cifra di c,d>0 grazie al fatto 1 ottengo...

Per me era tuo, comunque senza perdere tempo posto il prossimo. Problema 5: Siano $A$ ed $E$ due vertici opposti di un ottagono. Una rana parte dal vertice $A$ . Da ogni vertice diverso da $E$ può saltare su uno dei due vertici adiacenti. Quando arriva ad $E$ si stoppa. Sia $a_n$ il numero di percor...

L'idea è di costruire un insieme A : \left \{a_1,a_2,\dots, a_{2010} \right \} con a_1<a_2<\dots <a_{2010} e 2a_i+1\leq a_{i+1} $\forall i$ e con a_{2010} minimo. Poichè $f(x)=2x+1$ è strettamente crescente dovrò avere $a_1=1$ e $a_{n+1}=2a_n+1$ . Quindi $a_n=2^n-1$ (è la solita ricorsione) da cui o...

Hint poco rassicurante:

http://it.wikipedia.org/wiki/Bolla_di_sapone

Problema 2: Fatto 1: La derivata di $ p(x)b_ix^i è $p(x)ib_ix^{i-1}+p'(x)b_ix^i$ Dim: Semplicemente facendo i conti ottengo \displaystyle\sum_{j=0} ^d (i+j)a_jb_ix^{j+i-1}=\sum_{j=0} ^d ia_jb_ix^{j+i-1}+\sum_{j=0} ^d ja_jb_ix^{j+i-1} Che è proprio p(x)ib_ix^{i-1}+p'(x)b_ix^i [] Un altro modo è appl...

Lemma 1: La derivata di una somma di polinomi è uguale alla somma delle derivate dei due polinomi Dim: Prendendo due monomi di grado $i$ si ha (i-1)a_ix^{i-1}+(i-1)b_ix^{i-1}=(i-1)(a_i+b_i)x^{i-1} e sfruttando questo fatto per ogni monomio dei due polinomi si ha la tesi [] Lemma 2: Sia g(x)=\alpha ...

Io conosco questa: $(a-b)^{2n}= \sum_{i=0}^n {2n \choose i}a^i(-b)^{2n-i} Quindi il coefficente di a^n(-b)^n sarà $2n \choose n Ma $(a-b)^{2n}=(a-b)^n(a+b)^n= \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^i(-b)^{n-i} \sum_{j=0}^n {2n \choose j}a^jb^{n-j} E il coefficiente di a^n(-b)^n sarà $\sum_{i,j\geq0\ i+j=n}^n {...

jordan ha scritto: @Jessica92: sopra ho dimostrato che x=11 è il minimo intero per cui quella disuguaglianza è verificata..

Ora si

Gogo Livorno ha scritto:
e come?

Conosci un certo "Teorema cinese del resto"?

Il resto del procedimento è ok

jordan ha scritto:Stimiamo ora un valore di $ $x$ $ nel suddetto range tale per cui $ f(x)>7 $; dobbiamo avere $ \frac{\ln(2)}{x-7}<\ln(x) $. []

Mi sa che non torna qualcosa...

Io l'avevo fatta cosi:
$ x\geq 11 \Rightarrow x^{x-7}>2^x $
$ x-7>x\text{log}_x(2) $
$ x(1-\text{log}_x(2))>7 $

Ora va bene!!
Giusto una domanda.

Come arrivi a dire questo?

dario2994 ha scritto: Ora per p>11 vale:
$ $p(1-\log_p(2))>7 $

dario2994 ha scritto: Analizzando mod 6 ricordandosi che i primi valgono 1,-1 si ottiene:
$ $p\equiv 1\pmod{6} $ ***
$ $q\equiv -1\pmod{6} $ ****

Non ho capito questa parte

Problema 59 Trovare tutti i primi $ $p,q$ $ che soddisfano $ $2p^q-q^p=7$ $

beh ad occhio io ti chiederei P(1) e poi P(P(1)), trovando quindi il polinomio vedendolo in base P(1). In una mossa è impossibile poichè P(x) non è univocamente determinato conoscendo un solo valore. Mettiamo che P(n)=a_k n^k + a_{k-1}+...+a_0 per ogni n diverso da zero possiamo trovare un Q(x) tale...