OliForum Matematico

E' scritta un po' di fretta e tralasciando la dimostrazione di lemmi importanti. Ci sono conti sbagliati e passaggi da sistemare. Ci ritornerò su domani, o comunque il prima possibile. Il segno s sarà dato da: (i, j sono presi modulo p) \displaystyle s= \prod_{i > j}{\frac{i^n-j^n}{i-j}}= \prod_{i >...

Si ha che: \alpha=\frac{m+k}{2} \ ; \ \beta=\frac{m+k}{2} \ ; \ \alpha+\beta=m dove k = \sqrt{m^2-4n} . Ma m^2 - 2 =m(\alpha + \beta) - 2 \leq \lfloor m\alpha \rfloor + \lfloor m\beta \rfloor \leq m(\alpha + \beta) = m^2 . Dato che m^2 - 1 e m^2-2 non possono essere quadrati perfetti (a meno che m=1...

I casi p=2,3,5 si possono fare a mano e mi tolgono eventuali impicci nella dimostrazione (in essi "vale" la tesi perché non rispettano la prima proprietà). Suppongo per assurdo che la tesi sia falsa e distinguo due casi. CASO 1: p-1 contiene un primo dispari Già sappiamo che 2 divide (p-1)...

Esatto, questa era veramente calcolosa, anche la mia soluzione era così, ma spero vivamente dentro di me che ce ne sia una "bella"... comunque vai pure col prossimo!

Dimostrare che per ogni a, b, c reali positivi vale:
$$ \sum_{cyc}{\frac{a^2}{b^2+c^2}} \geq \sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}} $$

$$ RHS = x^4-9x^3+16x^2+15x+26 = (x^2+x+1)\cdot (x-5)^2 + 1 = [(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4})\cdot (x-5)^2 + 1 \geq 1 $$ E il caso di uguaglianza si raggiunge se e solo se x=5. Le tre espressioni nelle radici al LHS invece sono: x^2-10x+26 = (x-5)^2 +1 \ ; \ x^2-10x+29 = (x-5)^2 + 4 \ ; \ x^2-10x+...

Applico Cauchy-Schwarz alle terne: $$ ( \frac{a}{\sqrt{a+b}}, \frac{b}{\sqrt{b+c}}, \frac{c}{\sqrt{c+a}}) \ ; \ ( \sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}) $$ E ottengo che: $$\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a})\cdot 2 \cdot (a+b+c) \geq (a+b+c)^2 $$ $$\displaystyle (\frac{a^2}...

a+b+c=abc Modo 1: a+b+c=abc \rightarrow 1= \frac{a+b+c}{abc} = \frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} Sia per assurdo \min \{ a,b,c \} >1 . Allora \frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} < 1 . Quindi \min \{ a,b,c \} =1 e WLOG a=1. Ottengo bc=b+c+1 \rightarro...

Che desolazione... vabbé, primo hint:

Parti dal fatto che le 4 cifre sono distinte, quindi c'è una bigezione sostanzialmente fra i sottoinsiemi di {1,2,3,4,5,6,7,8,9} formati da 4 elementi e i numeri richiesti. Infatti ad ogni numero posso associare il sottoinsieme formato dalle 4 cifre distinte che lo costituiscono, e ad ogni sottoinsi...

Oppure i numeri sono $ \binom{9}{4}=126 $, perché sono i modi di scegliere 4 numeri distinti da 1 a 9 (che poi possono essere ordinati in un solo modo).

Trovare il quadrato magico 3x3 (con somma dei numeri sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali costante) formato dal numero 1 e da 8 numeri primi distinti fra loro con la somma magica (quella somma di cui parlavo prima) minore possibile. Dimostrare che questa somma è effettivamente la minima otte...

Se P sta sul lato AB, allora AP+PB=AB è costante, quindi devo minimizzare CP che è evidentemente minimo quando CP è altezza, ovvero P=A. In questo caso quindi AP+BP+CP=AB+AC. Il tutto avviene analogamente se P sta sul lato AC. Se invece P sta sul lato BC, devo minimizzare AP che si minimizza quando ...

Innanzitutto è ovvio che a,b,c sono positivi. Ora sia WLOG a \leq b \leq c , allora ho che a \leq 3 . Infatti, se riscrivo il testo come \frac{a+1}{a} \cdot \frac{b+1}{b} \cdot \frac{c+1}{c} = 2 è evidente che se a \geq 4 allora 2=RHS = LHS \leq \frac{5^3}{4^3}=1.953125 che è assurdo. Quindi posso d...

Claudio. ha scritto:Io l'ho detto che non postavo da un po' LoL
In questo momento non trovo l'errore....

Può succedere che $ a \nmid (b+1) \ ; \ a \nmid (c+1) \ ; \ a \mid (b+1)(c+1) $