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Avverto che tutte le sommatorie e le espressioni in gioco si devono intendere cicliche sulla terna x,y,z o su terne di lavoro. Preliminarmente ho che: (0) $\left(\sum(x)\right)^3=\sum(x^3+3x^2y+2xyz+3x^2z)$ Inoltre è : (1) $\sum(u^2)\cdot\sum(v^2)\geq \left(\sum(uv) \right )^2$ Utilizzo la (1) ponen...

http://img297.imageshack.us/img297/6235/archi2.jpg Indico con C il centro di C' , con E quello di C" e pongo : <ACD=2a,<AEB=2b,<DCE=2c Sarà allora: <DEA=1/2*<ACD=a,<DAE=1/2*<DCE=c,<BAE=90°-b Per semplicità di scrittura pongo inoltre r/4=s in modo che i raggi di C',C",C"' diventano 4s...

http://img442.imageshack.us/img442/8209/lemu.jpg Sia ABC il triangolo,K il suo punto di Grebe e D,E,F le proiezioni ortogonali di esso sui tre lati.E' noto che le lunghezze di KD,KE e KF sono proporzionali alle lunghezze a,b,c dei lati di ABC (se qualcuno si vuole cimentare nella dimostrazione...) ...

Il teorema non sembra vero in generale.E' vero invece che il punto K di Grebe ( o di Lemoine) di un triangolo ABC è il centroide del triangolo pedale di K rispetto ad ABC.Ovvero del triangolo che ha per vertici le proiezioni ortogonali di K sui lati di ABC.L'ho provato per un triangolo rettangolo e ...

Risolvere in R la seguente equazione:
$ \displaystyle 6^x+1=8^x-27^{x-1} $
Prego giustificare il risultato

La soluzione (semi)ufficiale si basa su Cauchy-Schwarz ,applicata in modo particolare.Esiste però una dimostrazione alternativa che gareggia egregiamente con la prima in quanto ad ..arzigogoli algebrici !! Dunque l'idea è quella di trovare 3 reali positivi x,y,z tali che risulti: (1) \displaystyle\f...

http://img153.imageshack.us/img153/8633/kop1.jpg E' agevole dimostrare che gli angoli segnati in figura con la lettera "a" sono congruenti e che pertanto il trangolo OPH è isoscele su OH. Ne segue che PH=OP=r ovvero che il luogo richiesto è la circonferenza di centro P e raggio r.Quanto a...

Il mio ragionamento è simile a quello di Spammowarrior ma è basato su tutto P(x).Se n è il grado di P(x) ,in virtù della relazione data deve essere 2n=n+4 da cui n=4.Inoltre dalla relazione si ricava che per x=0 è P(0)=0 mentre per x non nullo è : \displaystyle P(x)=\frac{P(x^2)}{x^2(x^2+1)} e da qu...

Quello che dice Maioc92 è vero ma almeno in questo caso una scelta è sempre possibile senza ricorrere al calcolo delle radici. Determiniamo infatti u-v : \displaystyle u-v=x_1^2+x_2-x_2^2-x_1=(x_1-x_2)(x_1+x_2-1) Pertanto,essendo per ipotesi \displaystyle x_1>x_2 ,risulta che : \displaystyle u>v \te...

Devi simmetrizzare l'espressione al seguente modo: Poni \displaystyle u=x_1^2+x_2,v=x_1+x_2^2 Quindi avrai il sistema : \displaystyle \begin{cases}u+v=(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\uv=(x_1x_2)^2+(x_1x_2)+(x_1+x_2)^3-3(x_1x_2)(x_1+x_2)\\ \end{cases} Da esso ti ricavi u e v e poi ,in base alla condiz...

Una soluzione alternativa. Comincio con l'osservare che è: \displaystyle \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\geq \frac{x^3-1}{x(x^2+y^2+z^2)} \text{ ed altre analoghe per y e z} Infatti riducendo a forma intera,cosa possibile perché i due denominatori sono >0 e facendo pochissimi calcoli ( :D ) ,si ha la re...

Rispolvero questo post perché,andando a studiare altre cose,ne ho trovato una soluzione alquanto semplice.(Ipotizzo che l'ultimo termi ne della sommatoria sia \displaystyle\frac{1}{1+x_n+x_nx_1} ) Consideriamo allora una serie di reali positivi \displaystyle y_1,y_2,..y_n e poniamo \displaystyle x_1...

Non mi pare che ci siano errori.Una rotazione di AO di 45° attorno ad A porta O in un punto O' della diagonale AB tale che sia AO'= AO =l .La successiva omotetia "allunga" AO' fino ad AO'*sqrt(2)=AO*sqrt(2)=AB e quindi il punto O viene portato in B. P.S. bella soluzione ma è quella ufficia...

http://img709.imageshack.us/img709/4668/eul.jpg Una possibile soluzione (semi)sintetica. Sia E la proiezione di C su AB.Si prolunghi CE di CF=CB e si ponga: CFB=CBF=a.Evidentemente è ECB=2a. Ora abbiamo che: \displaystyle EB=AB-AE=AB-CD=\frac{7}{4}CD-CD=\frac{3}{4}CD \displaystyle EF=CE+CF=AD+CB=AB...

http://img709.imageshack.us/img709/1249/cesen.jpg Su OA costruiamo il quadrato AOBC in modo che il contorno sia percorso in senso antiorario a partire da A.Sia P un punto generico della circonferenza data e su AP costruiamo il quadrato APQR come da traccia.Proiettiamo Q in S su OB e siano poi M,N,L...