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Sia dato un triangolo ABC . Consideriamo la tangente comune all'incerchio e al cerchio di Feuerbach (nel loro punto di tangenza); similmente definiamo le tre tangenti tra il cerchio dei nove punti e gli excerchi. Dimostrare che queste quattro rette formano un quadrilatero tale che una sua retta di G...

Siano dati due triangoli $ ABC, A_1B_1C_1 $ simili e con orientazione opposta. Supponiamo che questi due triangoli abbiano lo stesso ortocentro.
Dimostrare che le rette $ AA_1,BB_1,CC_1 $ concorrono.

Sia dato un quadrilatero $ ABCD $ i cui i vertici giacciono su una circonferenza $ \Omega $. Consideriamo i quattro cerchi tangenti a due lati consecutivi del quadrilatero e tangenti internamente a $ \Omega $.
Dimostrare che esiste un secondo cerchio tangente a questi quattro.

In un triangolo ABC , sia \ell_A la retta per A parallela alla retta di Eulero del triangolo; similmente definiamo \ell_B,\ell_C . a) Dimostrare che la retta simmetrica di \ell_A rispetto a BC e quelle analogamente definite rispetto agli altri vertici concorrono in un punto P . b) Se Q è il coniugat...

Questa è la mia rielaborazione di un problema proposto qualche anno fa da Nguyen Van Linh: Sia ABC un triangolo inscritto in un cerchio \Omega e \Gamma quel cerchio tangente internamente a \Omega in A e tangente a BC in un punto D . Sia D_1 il punto sul segmento BC tale che BD=CD_1 , e sia E\in\Omeg...

In un triangolo ABC sia \omega l'incerchio, di centro I e raggio r ; sia \Gamma il circocerchio, di centro O e raggio R . Sia K quel punto sul segmento OI tale che \displaystyle{\frac{KI}{KO}=\frac{2r}{R}} . Chiamiamo D,E,F i punti di contatto di \omega con i lati di ABC e prendiamo un punto P sulla...

In un triangolo ABC , sia \omega l'incerchio e D,E,F i punti in cui questo tange BC,CA,AB . Se EF incontra BC in L e N è il punto medio di DL , supponiamo che la seconda tangente a \omega condotta da N incontri \odot(ABC) in X,Y . Le tangenti da X,Y a \omega si incontrano in K . Dimostrare che \meas...

Il seguente problema si può considerare un classico; è apparso in varie forme su numerosi siti e riviste di problem-solving, nonchè in un test iraniano di selezione per le IMO. In un quadrilatero ABCD sia P l'intersezione delle diagonali AC e BD . Consideriamo gli incentri dei triangoli ABP,BCP,CDP,...

La notazione può variare, ma in genere l'angolo orientato tra due rette $ r,s $ si indica con $ \angle(r,s) $. In ogni caso nel problema sopra si possono considerare gli angoli non orientati.

Ecco un esercizio che non dovrebbe essere particolarmente difficile: Sia dato un triangolo ABC con incentro I . I punti P,Q stanno su una retta passante per I e soddisfano \measuredangle BAP=\measuredangle CAQ . Siano E,F i piedi delle bisettrici interne degli angoli in B,C rispettivamente. EP inter...

Questo problema deriva dalle mie riflessioni intorno a certi argomenti apparsi recentemente su artofproblemsolving: Sia dato un triangolo ABC e P un punto sulla bisettrice interna dell'angolo in A . Le proiezioni di P su AB,AC sono L,M e le rette BM,CL si incontrano in un punto Q . Chiamiamo P_1,Q_1...

Sia dato un triangolo ABC in cui l'incerchio, di centro I , tange i lati BC,CA,AB nei punti D,E,F . I punti medi dei lati di ABC , nell'ordine di cui prima, sono L,M,N . Siano X,Y,Z punti su AI,BI,CI rispettivamente. a) Dimostrare che le rette DX,EY,FZ concorrono in un punto P se e solo se anche le ...

Sia dato un parallelogrammo ABCD di centro O e un punto P al suo interno. Chiamiamo O_{AB} il circocentro del triangolo PAB ; similmente definiamo O_{BC},O_{CD},O_{DA} . Siano X=O_{AB}O_{AD}\cap O_{BC}O_{CD}, Y=O_{AB}O_{BC}\cap O_{CD}O_{DA}, Z=O_{AB}O_{CD}\cap O_{BC}O_{AD} . Dimostrare che O apparti...

Siano dati due cerchi disgiunti \Gamma_1,\Gamma_2 e due punti P_1 \in \Gamma_1 e P_2 \in\Gamma_2 . Chiamiamo s_1,t_1 le tangenti a \Gamma_2 condotte da P_1 , e s_2,t_2 le tangenti a \Gamma_1 condotte da P_2 ; queste quattro rette formano un quadrilatero convesso \mathcal{Q} con la seguente proprietà...

Sia dato un triangolo ABC e un punto variabile D\in BC ; prendiamo i punti E\in CA, F\in AB tali che il triangolo DEF sia equilatero. Le rette DE,DF incontrano \odot(AEF) in J,K . J_1 è il simmetrico di J rispetto ad AB , mentre K_1 è il simmetrico di K rispetto ad AC . Dimostrare che al variare di ...