OliForum Matematico

O è molto semplice o ho molto segato :P $q\mid 2^p+3^p \iff (2\cdot3^{-1})^p\equiv -1 \pmod{q}$ se q diverso da 2,3, quindi $(2\cdot 3^{-1})^{2p}\equiv 1 \pmod{q}$ e quindi $ord_q{(2\cdot 3^{-1})}\in \{1,2,p,2p\}$ Nel primo caso si trova $3\equiv 2 \pmod {q}$ assurdo, nel secondo $9\equiv 4 \pmod {q...

A grande richiesta (!) piazzo un hint e cioè il risultato

Basta, è l'ultima volta che propongo un problema di geometria, non son manco capace a ricopiare un testo

Corretto, la F era una D

$ABC$ rettangolo in $C$, $AD, BE$ bisettrici, $M$ circocentro di $CED$, $I$ incentro di $ABC$. Tesi: $MI\perp AB$.

Bonus: l'altra freccia, $MI\perp BC \Rightarrow \angle C=90°$ oppure ABC è isoscele.

Glaudo selvatico attacca!

In una tabella con n righe e 10 colonne c'è una cifra (da 0 a 9) per casella (possono esserci cifre che non compaiono mai o cifre ripetute più volte). Sappiamo che comunque prese una riga e una coppia di colonne, esiste un'altra riga in cui le cifre sono uguali a quella presa tranne che nei punti di...

Sì ok mi proponevo di risolvere il problema più generale perchè non mi sembra(va) una questione legata ai fattori primi quanto una faccenda di grandezze. Non so perchè ma mancano un paio di righe di soluzione in cui esaminavo i casi rimanenti ma comunque ho preso una gran bella cantonata :D . Contin...

$10^k+89=n^2$. A mano $k=0,1,2,3$ (solo l'ultimo è soluzione). Scrivo $n=10a+b$ con $b\leq 9$. Ora $99^2 <10^4<10^k+89$ per $k\geq 4$, quindi $a\geq 10$. Quindi sviluppando $100a^2+20ab+b^2=10^k+89$ si vede che $100a^2+20ab$ non influenza le prime due cifre di $n^2$, quindi per forza $b^2=89$, assur...

Mostrare che per ogni $a,b,c>0$ vale

$\displaystyle\sum_{cyc} \sqrt{\frac{5a^2+5c^2+8b^2}{4ac}}\geq 3(\frac{8(a+b)^2(b+c)^2(a+c)^2}{a^2b^2c^2})^{\frac{1}{9}}$

Dato un n-gono convesso (con n>5) di area 1, dimostrare che esiste un esagono convesso di area $\geq 3/4$ interamente dentro l'n-gono.

Commento:

Allora la scrivo. Intanto $\frac{A}{B}=\frac{C}{D} \iff \frac{A+C}{B+D}=\frac{C}{D}$, quindi sommando le due frazioni ottengo che la tesi è equivalente a $b^2+c^2+ad-bc-ac-bd=0$. D'altra parte, se faccio denominatore comune nell'ipotesi e raccolgo decentemente (vi risparmio i conti che non presentan...

Le variabili sono anche distinte vero? Se sì, ho una soluzione, altrimenti ho il controesempio (1,3,3,7)

Più che $d \nmid a$ serve $(a,d)=1$, che però hai implicitamente dimostrato, basta dirlo

Purtroppo non ne ho la minima idea (l'avevo postato dopo aver cercato una soluzione al link della dispensa), anche se a questo punto dubito fortemente esista... Comunque il testo l'ho preso da qui , è il numero 6 (nella dispensa che avevo scaricato io qualche settimana fa c'è l'ipotesi p primo, ora ...