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1) E' evidente che a \geq 4 , ora analizzando modulo 2 si ha che a è necessariamente pari, quindi analizzando modulo 4 ho che 0-(-1)^b \equiv -1 \pmod{4} ovvero (-1)^b \equiv 1 \pmod{4} da cui segue che b è pari. Pongo b=2x e quindi ho che a^2 - 7^{2x} = 15 \ ; \ (a+7^x)(a-7^x)=15 . Ora il primo dei...

Nascondo la mia soluzione dato che bara. Teorema : se a \equiv 1 \pmod{4} allora a è esprimibile come somma di due quadrati. Dimostrazione: conosco l'idea ma sarebbe lunga da scrivere qui, si trova nella dispensa "Sum of two squares" di Jahnavi Bhaskar. Questa parte è il grosso del problema. Nel nos...

$ \frac{3^{3u}-1}{3^u-1}=3^{2u}+3^u+1=3^{2u}-2 \cdot 3^u + 3^{u+1}+1 = (3^u-1)^2+3^{u+1} $ che per u dispari è una somma di quadrati.
Per i pari non è possibile dal momento che la quantità in questione è congrua a 3 (modulo 4).

Parte 1: N_0 = 24 Verifico a mano che la proprietà indicata non vale per 0 \leq N_0 \leq 23 (è facile, mi basta farlo per i quadrati meno 1) e osservo che vale per 24. Parte 2: 24 \mid N_i N_i+1=a^2 2N_i+1=b^2 Analizzando modulo 8 (dove i residui quadratici sono 0, 1, 4) ho che 2N_i può valere solo...

I lati sono della forma k e 308/k con k reale. Dato che il perimetro è intero ho che 2(k + \frac{308}{k})=n con n intero positivo. Da cui segue che k=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4928}}{4} . Analizzando il discriminante si ottiene che n \geq 71 Dal momento che il perimetro ha al più 3 cifre, imponendo 2(k ...

Basta scegliere $ b=-2a^2+4a $

La mia soluzione è in parte sbagliata (mi ricordavo male la formule di Cardano, applicata quando y è minore di 0), però si salvano il caso in cui x e y sono entrambi positivi e inoltre il caso in cui sono entrambi negativi è banale. Rimane quindi il caso in cui sono uno positivo e uno negativo, e se...

Soluzione abbastanza "scolastica", penso sia poco istruttiva e un tantino difficile senza conoscere certe formule, ma ci sono riuscito solo così. (Premessa ovvia: x e y non sono nulli) Analizzo l'equazione di terzo grado in x: x^3 -3y \cdot x + y^3-p^2 = 0 . Affermo che il delta è maggiore di 0 se y...

Sì, c'era un errore di calcolo, ora termino la dimostrazione. Dal momento che c=2-a-b ho che a^2+b^2+c^2=2 è equivalente a a^2 + b^2 + (2-a-b)^2=2 che facendo i conti diventa a^2+b^2+ab-2a-2b+1=0 . Imponendo che f(a)=f(b) ottengo che ra(a-1)^2+s=rb(b-1)^2+s \ ; \ a(a-1)^2=b(b-1)^2 \ ; \ a^3-2a^2+a =...

Sia f(x)=px^3+qx^2+rx+s . Dalla terna (1,1,0) ottengo che f(1)=f(0) da cui p+q+r+s=s \rightarrow p=-q-r . Quindi ho che f(x)=(-q-r)x^3+qx^2+rx+s . Dalla terna (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}) ottengo che q=-2r da cui f(x)=rx^3-2rx^2+rx+s . Ora è evidente che s possa assumere qualsiasi valore,...

Dato che i punti A, B sono fissati, posso fissarli nel piano cartesiano WLOG A=(0,0) e B=(1,0) infatti mi riconduco a tutti gli altri triangoli mediante rototraslazioni+omotetie. Sia il punto C=(x,y). Allora avrò che: D=(\frac{x+1}{2}, \frac{y}{2}) \rightarrow AD^2 = \frac{x^2+2x+1+y^2}{4} E=(\frac{...

Faccio la classica sostituzione: x = \frac{b+c-a}{2} y = \frac{a+c-b}{2} z = \frac{b+a-c}{2} Ora x, y, z sono reali positivi qualsiasi (sono la misura dei segmenti che collegano un vertice ad uno dei 2 punti di tangenza con l'incerchio più vicini). La disuguaglianza diventa quindi: \frac{y+z}{2x} + ...

Chiamo i numeri di due cifre a, b. Ho che ab \mid (100a+b) \rightarrow a \mid (100a+b) \rightarrow a \mid b . Pongo quindi b=ka con k ovviamente intero. Pertanto ho che ka^2 \mid (100+k)a \rightarrow ka \mid (100+k) \rightarrow k \mid (100+k) \rightarrow k \mid 100 . Dal momento che a è maggiore di ...

Oppure per farla tutta tutta puramente euclidea (senza calcoli) si poteva dire che dal fatto che EGF e GCD sono congruenti deriva che $\hat{EGF} + \hat{HGC} = 120°$ (questo perchè $\hat{DCG}=\hat{EFG} = 60°$) e quindi $\hat{EGP} = 60°$... Sì, mi riferivo proprio a questo. Voglio credere che sia di ...

Ora, se non ci fossero pagine con 64 figurine, ne sarebbero necessarie almeno 15 per le 250 figurine (infatti 1+1+2+2+4+8+8+16+16+6 \cdot 32 = 250 , ma come si vedrà in seguito posso farcela con meno pagine (non posso distribuire meglio le figurine nelle pagine nella somma appena trattata, perchè d...