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Dopo mesi di assenza ritorno sul forum con questa diofantea interessante.

Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ tali che $ x^y-y^x=1. $

Una persona può stare in più gruppi e in ogni gruppo almeno 2 hanno lo stesso punteggio.

Errore stupido, con un niente di fatto. Ci riprovo un'altra volta.

Allora ricontrollo.

Non sono proprio convinto, ma forse ho capito male.

Considerando l'equazione mod 5, ho visto che $ n $ è pari. Dopodichè isolando $ x^2 $,ho ragionato mod 25 sull'altro membro, che non risulta mai un residuo quadratico. Quindi non dovrebbero esserci soluzioni. Non ho ricontrollato, per favore correggetemi; è giusto così?

Trovare tutti gli interi $ x,y $ tali che $ 2x^2+5y^2=11(xy-8) $.

Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi. Supponendo che esistano due interi distinti $ a,b $ tali che $ p(a)=b, p(b)=a $, dimostrare che l'equazione $ p(x)=x $ ammette al massimo una soluzione intera.

In una scuola 91 studenti sono suddivisi in 3 classi. Ogni studente ha partecipato ad una gara a punti. In ogni gruppo di 6 alunni dello stesso sesso ce ne sono 2 con lo stesso punteggio. Dimostrare che ci sono almeno 4 alunni dello stesso sesso, della stessa classe e con lo stesso punteggio.

Ancora bene. Ora la mia dimostrazione. Mantenendo sempre questa notazione, si vede subito la similitudine di BB'G e AFM ; tracciando per C la parallela a GB' che interseca BB' in H , ovviamente sono simili pure AFM e BCH , ma AM=(AB-AC)/2 e BH=BB'-CC'=AB-AC. Perciò il rapporto di similitudine è 2 e ...

Trovare tutti i reali positivi $ a,b,c,d $ tali che $ a+b+c+d=12 $ e $ abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd $.

Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ per cui $ 1+2^x=y^2. $.

Sì, è giusto: la somma è congrua a 2 mod 4 e quindi non può essere 0. E' un tipico esercizio con invarianti.

Non si sa a priori se è più grande $ as $ o $ bt $, quindi per mantenere la differenza positiva (è un intero positivo che si deve rapprensentare in quella forma) ho usato il valore assoluto.

Sì, l'ho messo perchè non si sa quale dei due multipli (di $ a $ o di $ b $) potrebbe essere maggiore.