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No perchè se non avesse punti con più di due diagonali concorrenti in essi si avrebbe un punto di intersezione ogni possibile scelta di 4 vertici. Queste scelte sono $ {23 \choose 4} =8855 $ quindi un poligono di $ 23 $ lati non può avere $ 8879 $ punti di intersezione delle sue diagonali.

Riorganizzo un po la diofantea: $ y= \frac{11x^2-x-7}{x-3} $ ed eseguendo la divisione tra polinomi $ y=11x+32+ \frac{89}{x-3} $.
$ 89 $ è primo e l'unico $ x $ non positivo che rende $ y $ intero è $ x=-86 $ che in effetti fornisce un y negativo e perciò l'unica coppia che soddisfa è $ (x,y)=(-86,-915) $

Provo a parte i casi in cui uno tra x, y e z è 0 : x=0 fornisce la prima diofantea che hai postato che ha soluzione (x,y,z)=(0,1,1) y=0 è assurdo perchè la somma di due dispari è un pari z=0 è anche assurdo perchè la somma di due numeri \geq 1 è maggiore o uguale a 2 Ora posso usare i moduli suppone...

Suppongo che uno dei due numeri abbia un fattore u che l'altro non ha: guardo tutto mod u e ho un assurdo. Poniamo allora a=x^y e b=x^k con x,y,k interi positivi e sostituiamo: ottengo x^{yx^k}=x^{kx^y} ovvero per l'iniettività dell'esponenziale yx^k=kx^y e pongo per simmetria k \geq y ovvero b \geq...

Guardo mod 3: (-1)^x-(1)^y \equiv 1 (3) \rightarrow (-1)^x \equiv -1 (3) da cui x è dispari. Uso i prodotti notevoli: 5^x-1=4^y lo scrivo come 4^y=(5-1)( \displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} 5^i) e quindi 4^{y-1}= \displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} 5^i . Ora LHS è pari per ogni y>1 mentre RHS è una somma di x...

Eh già! Cavolo mi spiace averti fatto lavorare su un problema sbagliato, come detto mi son accorto solo ieri sul tardi dell'errore..

Bravo, lo ho fatto preticamente come te! :lol: Solo che mi è venuto in mente ieri sera che bisognerebbe mostrare che quando fai la mossa (x,y,z) \rightarrow (\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, z) queste 3 quantità che ottieni non siano uguali (e questo si mostra facilmente) ma anche che non abbiano un MC...

Boh mi sono inventato sta cosa, spero sia giusta e non sia un fatto troppo noto (è la generalizzazione di un vecchio esercizio di una gara a squadre): Sono dati 3 mucchi di sassi contenenti rispettivamente X, Y, Z sassi, e sono permesse le seguenti mosse: i) Se un gruppo contiene un numero pari di s...

Si beh anch'io l'ho usata implicitamente!

Grazie, ho editato!

Secondo me è 3: Si vede facilmente che A(0;0), B(0;3) e C(4;0) soddisfano quanto richiesto, quindi AB= 3 è possibile ottenerlo. Mi basta quindi mostrare che AB=1 e AB=2 sono impossibili da ottenere. Suppongo AB=1: per la disugualianza triangolare sappiamo che gli altri due lati (numeri interi) devon...

Grazie, sei stato molto chiaro ed esauriente!

Cavolo hai ragione, non è molto soddisfacente! :roll: Il problema lo ho trovato su un libro della collana "mondo matematico" che mi è stato regalato (facevano la pubblicità in televisione, non so se avete capito di quale parlo). Il punto è che qui vi si legge (cito testualmente): "Il ...

\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-\frac{2}{3}\right) Io sono daccordo fino a qui ma questa ugualianza non mi convince: per far partire la somma da 1 invece che da 2 devo togliere l'addendo che ottengo con n=1 ovvero 1*(\f...

Qual'è la probabilità che, dati 3 punto a coordinate casuali (scelti veramente a caso) in un piano (infinito) essi siano i vertici di un triangolo ottusangolo. Ho provato in un paio di modi ma mi vengono risultati sempre più assurdi :shock: Come si può impostare un problema del genere? EDIT: probabi...

paga92aren ha scritto:$ \frac{3}{4}\sum_{n=2}^{+\infty} n\left( \frac{2}{3}\right)^n =\frac{3}{4}\left( \frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}-\frac{2}{3}\right) $

Sei sicuro di questo passaggio?

Comunque il problema non era la sommatoria ma capire cosa essa significa..