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Ah, ecco, ci sono! E con questo concludo la soluzione. Se x è dispari, 2^x è congruo a 2 modulo 3. Si può dimostrare facilmente, ad esempio considerando che il resto della divisione nel passaggio tra due potenze consecutive viene raddoppiato, perciò da 1 (che si ha per x=0) diventa 2, poi 4 che in m...

Ok, allora: scrivo $$3^y-1=2^{k+1}$$. Se y è pari e uguale a 2h, abbiamo $$(3^h+1)(3^h-1)=2^{k+1}$$ e quindi cerchiamo il prodotto di due potenze di 2 che distano di 2 posti. Le uniche che rispondano a questo requisito sono 2 e 4, dunque 3^h=3 e da qui si ricava (x,y,z)=(4,2,5). Se invece y è dispar...

mah, il punto è che balossino ha risolto solo per $x$ pari e mi pare che abbia assunto implicitamente senza accorgersene che $k\geq 1$ ed è per questo che non becca la tua soluzione (sarebbe meglio poi dire $(x,y,z)=(0,1,2)$ se no non si capisce l'ordine)... La supposizione che mi impedisce di trov...

Dunque, cominciamo... supponiamo x pari e uguale a 2k. Abbiamo $$3^y=z^2-2^{2k} =(z+2^k)(z-2^k)=m(m+2^{k+1})$$ dove $$m=z-2^k$$ Entrambi i fattori del membro risultante devono essere potenze non negative di tre. Per m>1 abbiamo che m è congruo a zero modulo tre, mentre 2^(k+1) può essere congruo sol...

Ooook, ho capito il problema: nel testo che ho citato q(x) si otteneva per sottrazione (da p(x)) del termine 2k, che non cambia al variare di x e perciò può essere compreso nel termine noto dell'espressione risultante. Questo è costante e uguale al prodotto delle radici del polinomio. Con $2^x$ inve...

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) ...

Cominciamo... sia q(x)=p(x)-$2^x$. Sappiamo che q(x) si azzera per ogni k, perciò q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2n)r(x) per qualche polinomio r(x). Ma r(x) ha grado zero perché il grado risultante di q(x) non può essere superiore a quello di p(x), cioè 2n. Possiamo perciò scrivere q(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2n) e...

Carino comunque... Come ti è venuto in mente ? Stavo riflettendo sulle proprietà dei triangoli inscritti in circonferenze, e ho pensato che nel modello dove ho due tangenti interne di cui una passa per il centro dell'altra, posso già dire qualcosa sui triangoli che si formeranno comunque si prenda ...

Sia B' diametralmente opposto a B e sia $\omega$ la circonferenza per AB'K. La tesi equivale a $AB^2=BB'\cdot BK$. Questo a sua volta (volendo è una potenza) equivale a $AB$ tangente a $\omega$, che è vero perchè $AB'$ è diametro di $\omega$ ($\angle AKB'=180°-\angle AKO=90°$) e $\angle BAB'=90°$. ...

Sono certo che la soluzione è giusta, anche se non potrò correggerla prima di essere andato un po' più avanti nel programma scolastico... Rilancio il problema: provate a dimostrare la relazione senza ricorrere alla goniometria.

Posto questo problema che ho appena inventato, sperando che non sia già noto. Non lo vedo molto difficile, però è carino. Sia AB una corda su una circonferenza di centro O. Si tracci la circonferenza di diametro AO. Chiamiamo K il punto in cui questa intercetta il segmento BO. Dimostrare che AB^(2) ...

Dunque... direi che per n pari va bene qualunque k, perché è sempre possibile creare un circuito chiuso. Basta partire da un angolo, percorrere tutto il corridoio, e poi ritornare dall'altra parte salendo e scendendo "a serpentina". Per n dispari invece c'è un problemino, perché colorando alternatam...

Ok, ho capito il meccanismo. E' come il terzo problema di Cesenatico di quest'anno (l'unico che ho fatto completo :) ). Praticamente noi abbiamo una situazione iniziale, diciamo quella con vertici tutti + o tutti -. Le somme algebriche nei due casi sono +14 e -2, ma questo non è importante. L'import...

pepperoma ha scritto:Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?

intendi senza mantenere inalterati i numeri scritti sulle facce, vero?

ileo83 ha scritto:mi ricollegavo alle vostre ropsoste.

che cos'è una ropsosta?