OliForum Matematico

Ingegnoso... avevo sentito parlare delle potenze, ma non le conoscevo abbastanza da risalire a questa dimostrazione. Una osservazione: su questa base si può costruire la dimostrazione in modo che non implichi nozioni sulle potenze. Sia P il punto di intersezione tra la retta AB e HK. Siano O il cent...

Due circonferenze si intersecano in A e B. Siano H, K i punti di tangenza nella tangente comune alle circonferenze. Dimostrare che la retta AB divide a metà il segmento HK.

Aiutatemi, perché 'un gnena fo proprio!!

Possiamo dimostrare per induzione. Primo passo: dimostro che la tesi è vera se $$n!<3^{2^{n-2}}$$ per ogni n maggiore o uguale a 1. Infatti per n=1 vediamo banalmente che lo è, e se la tesi è vera per un dato n, moltiplicando per l'espressione sopra si ha che è vera anche per il suo successivo. Ora ...

Tranquillo, è inattaccabile anch'io l'ho risolta così.

Malino per le mie aspettative, ho proprio cannato nel valutare il livello di difficoltà nella prova. Alla fine mi sono ritrovato con 6 risposte bianche, tra cui la maledetta del re lasciata irrisolta per un errore stupidissimo... avevo contato che da una casella laterale ci si poteva spostare in 6 p...

Mi serve un chiarimento sul secondo hint.

Triarii ha scritto:Ahahh l'avevo visto pure io poco tempo fa, e pure secondo me è una domanda un po' paradossale e che quindi non ha una risposta "esatta", però è solo una mia opinione, non so se è corretta

è corretta e si dimostra facilmente constatando che nessuna delle 4 risposte può essere esatta.

$f(x)$ è definita nel campo dei numeri reali. Si ha:

$$\displaystyle f(xy)+f(y-x)\ge f(y+x)$$

per ogni coppia di reali x,y.

i)Si dia una funzione polinomiale che soddisfi la condizione (esclusi ovviamente i banali casi costanti)
ii)Si dimostri che $f(x)\ge 0$ per ogni x reale.

Per quali numeri primi p vale che 3^{p-2}+6^{p-2}-2^{p-2} è multiplo di p ? Ehm... posso chiederti di postare il problema come topic a parte? Solo per evitare confusione... (Comunque credo di aver trovato la soluzione... Non posto il ragionamento perché è lungo e poi non ho molta voglia di prendere...

Esatto :D Credo sia l'unica soluzione possibile, io casualmente l'ho risolta allo stesso modo di Drago. No, ce ne sono anche altre... perchè con WA si verifica facilmente che ci sono più soluzioni a $9\cdot a\cdot n\equiv 1\pmod 2006$ (per esempio, si può usare un numero che termina con 2229 nove.....

Esatto Credo sia l'unica soluzione possibile, io casualmente l'ho risolta allo stesso modo di Drago.

Trovare due numeri naturali consecutivi tali che in entrambi la somma delle cifre è divisibile per 2006.

Penso va bene, anche se devi [...] almeno scrivere il perchè la successione dei resti di $10^x$ e' periodica modulo $n$. Dunque: prendiamo $10^x$ dove possiamo ingrandire x a piacere. Dividiamolo per n. I casi sono due: I- n contiene solo fattori 2 e 5. Per gli x più piccoli (precisamente quelli mi...

Drago96 ha scritto:IMO 1959 - Problema 1
Dimostrare che $\displaystyle{\frac{21n+4}{14n+3}\not\in\mathbb N \ \forall n\in\mathbb N}$

Questo sembra facilissimo... La frazione equivale a 1+(7n+1)/(14n+3), dove il secondo termine della somma è un numero frazionario per qualunque n non negativo perché (7n+1)<(14n+3)

Argh! In due righe non ce la farei mai... comunque, ecco il riassunto del mio ragionamento: In base decimale ogni numero è rappresentato come somma di singole potenze di dieci, ognuna moltiplicata per un coefficente intero compreso tra 1 e 9. Ogni potenza di 10 è congrua a un dato valore modulo n. C...