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Si consideri l'equazione:
$ x^{2001}=y^x $
a) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ è un numero primo e $ y $ è un intero positivo.
b) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ e $ y $ sono interi positivi

mah provo pure io: sappiamo che (essendo un polinomio monico di 2° grado e bla bla bla) 7q+1=x_1+x_2 e 2p=x_1 \cdot x_2 x_1,x_2 (sono le radici ovviamente) dunque possiamo avere x_1= \pm2p ; x_2= \pm1 o x_1= \pm p ;x_2= \pm2 . da ciò otteniamo che 7q=2p \rightarrow q=2;p=7 e 7q-1=p \rightarrow p=13 ...

$ APBC $ è ciclico da cui per tolomeo ho che $ PA \cdot CB+ AC \cdot PB=AB \cdot PC $ tuttavia $ CB=AB=AC $ per ipotesi. dunque sostituisco alla prima equazione e ottendo la tesi

diciamo che due polinomi p, q sono simili se hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti a meno dell'ordine . a) dimostrare che se p, q sono simili allora p(2007)-q(2007) è un multiplo di 2 b) esistono degli interi k>2 tali che, comunque siano dati p, q , p(2007)-q(2007) è un multiplo di k ?

ça và pure la mia?

mah tento io anche se non amo le dimostrazione a casi :roll: : caso 1: pongo n=2m , m \in \mathbb N .mi tolgo il caso in cui k=0 che da come soluzioni y=0, \forall n \in \mathbb N_0 (naturalmente y=0; n=0 è impossibile). adesso posso avere due sottocasi \gcd(y;3)=1 , \gcd(y;3)=3 . il primo sottocaso...

( DOMANDA:ci ho pensato molto , posso dire tranquillamente ed in generale che se m^2|n^2 allora m|n ?) ma io ho ragionato così: m^2|n^2 equivale a dire che m^2\cdot k=n^2 con k\in \mathbb Z ossia k=(\frac{n}{m})^2 da cui m|n :D comunque entrambe le soluzioni mi sembrano giuste @mist mi sembra che t...

Un numero naturale n è detto gradevole se gode delle seguenti proprietà: la sua espressione decimale è costituita da 4 cifre la prima e la terza cifra di n sono uguali la seconda e la quarta cifra di n sono uguali il prodotto delle cifre di n divide n^2 si determino tutti i numeri gradevoli

da dove l'hai preso il 2

amatrix92 ha scritto:In ogni caso per la disuguaglianza di partenza conosco una decina di dimostrazioni ma la cosa bella è che di tutte quelle che ho letto nessuna era uguale alla mia che tra l'altro non mi sembra essere per nulla strana xD Btw:

ahahah vero l'ho notato anch'io con la mia

per il punto ii)
con un ragionamento analogo penso siano $ \displaystyle \frac{ \binom{n}{k}-n}{ \binom{n}{k}} $

per il punto i)
i modi in cui posso scegliere 3 punti a caso sulla circonferenza sono $ \binom{7}{3} $
i modi in cui posso sceglierne tre consecutivi sono $ \frac{7 \cdot 2 \cdot 1}{2!} $
dunque la probabilità di sceglierne tre non consecutivi è $ \frac{4}{5} $

Dimostra che in ogni triangolo $ ABC $ è sempre vera la disuguaglianza $ a^2+b^2+c^2 \geq 4 \sqrt3 A $ dove $ A $ è l'area del triangolo. Quando si verifica l'uguaglianza?

la classifica dei primi dieci di modena?

allora provo col primo : analizzo mod5 e sfruttando il piccolo teorema di fermat ottengo che 5|p(n) inoltre analizzando mod3 e usando nuovamente il PTF e il suo corollario ( a^{p-1} \equiv 1 mod_p se MCD(a;p)=1 ) ottengo che 3|p(n) e infine analizzando mod8 e usando il PTF generalizzato ai numeri no...