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Fatto 1: sia n in numero, n\equiv S_n \pmod{9} Dimostrazione: Sia n=a_0+a_1\cdot 10 + ... + a_k\cdot 10^k la sua scrittura in base 10 . Allora, n\equiv a_0+a_1\cdot 10 + ... + a_k\cdot 10^k \equiv a_0 + ...+ a_k \equiv ... \equiv S_n \pmod{9} dove la prima uguaglianza é giustificata dal fatto che 1...

Ciò che dice Lui (con la L Maiuscola) è che: 1. (x-a_1)^2\cdot ...\cdot(x-a_n)^2 + 1 non ha radici reali poichè è sempre maggiore di 1 . 2. Se per assurdo esistessero a_i tale che Q(a_i)=R(a_i)=-1 e a_j tale che Q(a_j)=R(a_j)=1 , allora per il teorema degli zeri (continuità dei polinomi) esiste una ...

Carino Se per assurdo la tesi fosse falsa, allora esisterebbero due polinomi Q(x) e R(x) a coefficienti interi tali che (x-a_1)^2\cdot ...\cdot (x-a_n)^2 + 1 = Q(x) \cdot R(x) e quest'ultima asserzione la chiamo s(x) Da s(a_i) ottengo che Q(a_i) \cdot R(a_i) = \pm 1 \forall i \in [1,2,...,n] \iff Q(...

Scusa per il ritardo.
Giusta, vai col prossimo.

In realtá no, oltre che la prima tua soluzione é sbagliata, ce ne sono altre

Determinare tutte le soluzioni $ (m,n) \in \mathbb{N^2} $ tali che
$ \displaystyle m^2+2\cdot 3^n=m\cdot (2^{n+1}-1) $

Guardando un po' (2) di casi notevoli, ho notato questa cosa. Vorrei che qualche pro mi dicesse se é vera o meno (e in caso affermativo mi dicesse come si dimostra). Sia ABC un triangolo e P un punto tale che le rette di Eulero di ABP,\, ACP,\, BCP concorrono in Q . É sempre vero che Q sta sulla ret...

Giusta, proprio quella che intendevo.
Ti segnalo 2 typo.
$ N $ é la proiezione di $ D $ su $ AB $.
Quando usi Menelao, metti $ =-1 $.
Comunque era TST 2012 A1 Bosnia

Giusta
Metto in spoiler un idea per risolverlo in sintetica (e che spiega il titolo)

Appeno ho qualcosa di carino lo metto

Vediamo un po' Dimostro per induzione che esistono. Passo Base: (calato dal cielo, ma noo :D ) 3263442 = 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 43 \cdot 139 è un numero 6 regolare. Infatti ha 6 divisori primi distinti e 1+1806+75894+466206+1087814+1631721=3263442 dove gli addendi dell'LHS sono tutti diviso...

Sia $ ABC $ un triangolo ($ AB<AC $) e $ \Gamma $ la sua circoscritta.
Sia $ D $ il punto medio dell'arco $ BC $ contenente $ A $.
Sia $ E $ il piede della perpendicolare da $ D $ a $ AC $.
Dimostrare che $ \displaystyle CE=\frac{AB+AC}{2} $

Ed ecco la Meravigliosa soluzione di Sala. Innanzitutto definisco un po' di punti. B' il punto medio di ED e C' il punto medio di DF . Sia inoltre \Gamma ' la circonferenza di Feuerbach di DEF . Lemma 1: \Gamma e \omega_A hanno sempre almeno due punti in comune Dimostrazione: Considero il punto D , ...

N-esima domanda.
Se uno non é spesato e ha chiesto di alloggiare con gli spesati, come funziona la prenotazione delle camere in albergo?

Grazie mille !! Inizio a scrivere la soluzione di dario2994, ma se riuscirò a trovare anche quella di Sala la scriverò. Innanzitutto definisco un po' di punti. X\equiv CB\cap FE , N il punto medio dell'arco BC non contenente A , S\equiv \Gamma \cap XN e L il punto medio di BC . Lemma 1: pow_{\Gamma}...