La ricerca ha trovato 138 risultati

da Karl Zsigmondy
07 ott 2011, 17:05
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: BST 2009/2 (ITA)
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BST 2009/2 (ITA)

Trovare tutti gli n interi positivi per cui esiste m intero positivo tali che: \displaystyle\frac{4^n-1}{3} \mid (49m^2 + 1). L'ho postato perché si sfrutta un'idea (o tecnica, come la si vuole chiamare) abbastanza interessante. O almeno nella mia dimostrazione. Si accettano anche spunti. EDIT : pic...
da Karl Zsigmondy
05 ott 2011, 12:28
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 110. Che simpatica successione!
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110. Che simpatica successione!

Data la successione degli $ a_i $ tale che $ a_0=0, \ a_1 = 1, \ a_{n+2} = 2a_{n+1}-pa_n \forall \ n \in \mathbb{N} $, trovare tutti i valori di p (intero positivo primo) per cui $ \exists \ m \in \mathbb{N} : a_m=-1 $.
da Karl Zsigmondy
04 ott 2011, 16:34
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 109- Triangoli con lati interi
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Re: 109- Triangoli con lati interi

Se non ci sono errori/obiezioni, domani posto il prossimo problema.
da Karl Zsigmondy
04 ott 2011, 16:32
Forum: Algebra
Argomento: Una bella somma
Risposte: 7
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Re: Una bella somma

Innanzitutto sfrutto il fatto che F_j = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^j - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^j] . Quindi sostituisco la formula esplicita per i Fibonacci dentro quella somma, separo i due addendi dentro la quadra, svolgo le due serie geometriche (e mi rendo più pulita l'espres...
da Karl Zsigmondy
03 ott 2011, 17:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 109- Triangoli con lati interi
Risposte: 6
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Re: 109- Triangoli con lati interi

Detto c il lato opposto all'angolo di 60° e a, b gli altri due lati ho che per il teorema di Carnot vale c^2 = a^2 + b^2 - ab da cui è evidente che se due fra a, b, c hanno un fattore in comune ce l'ha anche il terzo, quindi posso supporre WLOG che a, b, c siano coprimi a due a due fra di loro. Ora,...
da Karl Zsigmondy
01 ott 2011, 14:12
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza più semplice di quanto sembri
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Re: Disuguaglianza più semplice di quanto sembri

Considero nel piano n-dimensionale i punti: A = (a_1, \ldots, a_n) B = (b_1, \ldots, b_n) C = (c_1, \ldots, c_n) Al LHS abbiamo la distanza AB, al RHS la somma delle distanze AC e BC. Ora considero il piano per A, B, C e applico la disuguaglianza triangolare da cui segue la tesi. EDIT: La applico ai...
da Karl Zsigmondy
29 set 2011, 19:14
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 107. Una somma insolita
Risposte: 24
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Re: 107. Una somma insolita

Intendi dire questo? $\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$ Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda! :lol: P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$ :? Appu...
da Karl Zsigmondy
28 set 2011, 19:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 107. Una somma insolita
Risposte: 24
Visite : 3473

Re: 107. Una somma insolita

No, il risultato di quella somma infinita intendevo... quella dei divisori è l'hint praticamente.
da Karl Zsigmondy
28 set 2011, 18:52
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 107. Una somma insolita
Risposte: 24
Visite : 3473

Re: 107. Una somma insolita

Diciamo che va bene, puoi andare col prossimo. Quel diciamo è riferito al fatto che hai usato un'identità che non hai dimostrato, ma stavolta diamola per buona.
da Karl Zsigmondy
28 set 2011, 14:51
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 107. Una somma insolita
Risposte: 24
Visite : 3473

Re: 107. Una somma insolita

Ecco un hint piuttosto utile: Non mi piace proprio \frac{\sigma(i)}{i} ... voglio scriverlo in un altro modo... vediamo come potrei fare. Per 4 viene \frac{1+2+4}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} , per 12 viene \frac{1+2+3+4+6+12}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}...
da Karl Zsigmondy
26 set 2011, 19:27
Forum: Geometria
Argomento: rette parallele e triangolo equilatero.
Risposte: 5
Visite : 1691

Re: rette parallele e triangolo equilatero.

Non hai sbagliato da nessuna parte, avevo sbagliato a fare la radice di 28/3. Ora ho corretto anche la mia.
da Karl Zsigmondy
25 set 2011, 17:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 107. Una somma insolita
Risposte: 24
Visite : 3473

107. Una somma insolita

Detta $ \sigma(k) $ la somma dei divisori interi positivi di k (compresi 1 e k) dimostrare che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{\sigma(i)}{i}} \leq 2n $
Per ogni n intero positivo.
da Karl Zsigmondy
24 set 2011, 14:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 106. Somme di 3 quadrati
Risposte: 7
Visite : 2567

Re: 106. Somme di 3 quadrati

Premessa la definizione di MCD si ha che (a, b) = (a, ka+jb) con k, j interi. Inoltre è ovvio che (ka, kb) = k(a,b) con k intero positivo. Quindi ho che: (p+a, p-a) = (1(p+a)+1(p-a), p-a) = (2p, p-a) = (2p, (-2)(p-a)+1(2p)) = (2p, 2a) = 2(p,a) = 2 \cdot 1 = 2 . Poi ho che (p-a) e (p+a) sono di quell...
da Karl Zsigmondy
23 set 2011, 18:19
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 106. Somme di 3 quadrati
Risposte: 7
Visite : 2567

Re: 106. Somme di 3 quadrati

Se a^2 + 2b^2 = p^2 ho innanzitutto che (a,p)=(b,p)=1, inoltre la relazione iniziale implica che 2b^2 = p^2 - a^2 = (p+a)(p-a) . Ma (p+a, p-a) = (2p, p-a) = (2p, 2a) = 2(p, a) = 2 e quindi uno fra (p-a) e (p+a) è della forma 2x^2 e l'altro è della forma 2^{2k} \cdot y^2 con x e y dispari. Quindi 2p ...
da Karl Zsigmondy
23 set 2011, 17:51
Forum: Geometria
Argomento: Disuguaglianza sull'esagono
Risposte: 1
Visite : 582

Re: Disuguaglianza sull'esagono

Torno dopo un po' sul forum con una soluzione che penso sia completamente cannata dal momento che la disuguaglianza mi viene larghissima. Sia AB=BC=h, CD=DE=k, EF=FA=j. Per la disuguaglianza triangolare ho che: BE \leq BD+DE \leq BC+CD+DE da cui BE \leq h+2k e cicliche. Quindi dimostro una cosa più ...