OliForum Matematico

Quello che non mi tornava tanto era il fatto che tu dovessi sempre togliere $n$, magari ne devi togliere di meno.

Premetto che
a) Non ho la soluzione ufficiale
b) La mia probabilmente è sbagliata (quindi sono stato un idiota a proporre questo problema per la staffetta)
Comunque non mi è chiaro il passaggio in cui sottrai $n$ partite e poi dici che funziona così anche se levo altre partite.

Però non mi sembra così scontato dalla tua soluzione che quello sia proprio il massimo. Mi sfugge qualcosa?

Ad un club di scacchi, i giocatori possono giocare fra di loro oppure contro un computer. Ieri c'erano $n$ giocatori al club. Ogni giocatore ha giocato al più $n$ partite, ed ogni coppia di giocatori che non hanno giocato fra di loro ha giocato al massimo $n$ partite in totale. Dimostrare che ieri s...

Comunque io ho interpretato il problema come: metto i numeri in modo che mi torni comodo e poi trovo il numero di colo necessari in questa configurazione ottimale (spero che il problema non fosse:"trova il minimo numero con cui sicuramente in qualsiasi caso ce la fai". Poi boh forse non c'...

Osservazione : se $3\mid n$ allora $3^2\nmid n$. Infatti deve valere che $2v_3(n)\le v_3(2^n+1)=v_3(2+1)+v_3(n)$ , dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato LTE. Quindi svolgendo otteniamo $v_3(n)=1$ che è ciò vhe volevamo dimostrare. La tesi implica che $n\mid 2^n+1$. In prima battuta osserviamo ch...

Uhm, probabilmente avrò sbagliato ad interpretare il testo, però

Corretto
La mia soluzione è identica alla tua, tranne che per dimostrare che $f(m)=\pm 1$ con $(m,p)=1$ non ho usato Fermat, ma il fatto che esiste l'inverso $m^{-1}$ modulo $p$, da cui $f(1)=1=f(m)f(m^{-1})$

L'ho messa qua perchè secondo me ha molto più di TdN che di algebra. Dato un primo $p$ dispari, trovare tutte le funzioni $f:\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z$ che soddisfano entrambe le 2 seguenti condizioni (i)$f(m)=f(n)\quad \forall m,n \in \mathbb Z$ tali che $m\equiv n \pmod p$ (ii)$f(mn)=f(m)f(n...

Ok, vai pure

Uppo per non bloccare la staffetta.
Dai che con gli hint è praticamente risolto

Il fatto che hai postato è molto figo

Premetto che non ho la soluzione, e che la mia è probabilmente sbagliata.
Siano $p$ un numero primo e $m$ un intero positivo. Dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che esistono $m$ zeri consecutivi nella rappresentazione decimale di $p^n$

Abbiamo una scacchiera quadrata $m\times n$. Sappiamo che ogni casella nera è adiacente (ossia ha in comune un lato) ad un numero dispari di caselle nere. Dimostrare che le caselle nere sono in numero pari.

Bon non so se dovrei pubblicarlo, però tanto vale