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Sia dato un rombo ABCD , in cui è inscritto un cerchio \omega che tange il segmento CD in X . Sia \omega_A un cerchio tangente ai segmenti AB,AD e tangente esternamente a \omega ; sia \omega_B un cerchio tangente ai segmenti BA,BC e tangente esternamente a \omega . I punti Y,Z appartengono al segmen...

Sia dato un triangolo ABC ; per una qualsiasi ceviana, defniamo i relativi cerchi di Thebault come quei due cerchi che tangono la stessa, il lato corrispondente e il circocerchio \odot(ABC) . Per un qualsiasi punto P nel triangolo, consideriamo i cerchi di Thebault definiti dalle ceviane passanti pe...

Siano date quattro rette complanari \ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_4 e, per i=1,2,3,4 chiamiamo \mathcal{T}_i il triangolo formato dalle rette \ell_{i+1},\ell_{i+2},\ell_{i+3} (con gli indici intesi modulo quattro). Chiamiamo r_i l'asse del segmento che unisce il circocentro e l'ortocentro di \mathcal{T}...

Sia ABC un triangolo e D,E due punti sui lati AC,AB rispettivamente. Chiamiamo A_1 il simmetrico di A rispetto alla retta BC e prendiamo un punto H tale che \measuredangle DBC=\measuredangle BHA_1 e \measuredangle ECB=\measuredangle CHA_1 . L'asse radicale tra i cerchi \odot(ABD),\odot(ACE) intersec...

Sia $ ABC $ un triangolo e $ P $ un punto variabile sulla sua retta di Eulero. Sia $ Q $ il coniugato isogonale di $ P $ e $ G $ il baricentro del triangolo pedale di $ Q $ rispetto ad $ ABC $.
Dimostrare che, al variare di $ P $, la retta $ GQ $ passa per un punto fisso.

Sia ABC un triangolo e m una retta ad esso complanare. Consideriamo tre rette parallele a m passanti per i vertici. Queste intersecano BC,CA,AB in D,E,F e la circonferenza \odot(ABC) di nuovo in D_1,E_1,F_1 . a) Sia \ell_A la retta passante per D_1 parallela a BC ; similmente definiamo \ell_B,\ell_C...

Sperando che questo possa risvegliare la staffetta: Sia ABC un triangolo e H il suo ortocentro; le rette AH e BC si incontrano nel punto D . Prendiamo due punti X,Y esterni al triangolo e appartenenti rispettivamente alle circonferenze \odot(ABD), \odot(ACD) tali che \measuredangle XAB=\measuredangl...

Dopo altri dieci giorni, riconosco che il problema non deve aver destato interesse. Per chi fosse interessato, di seguito riporto come si può concludere a partire da quanto ho già scritto. Per dimostrare che dato Q arbitrario su PO (dove O è il circocentro di A_1B_1C_1 ) le rette AA_2 e cicliche con...

Per non ripetere l'esperienza del problema 61, mi sento di intervenire per ridestare l'interesse su questo esercizio. Chi volesse risolverlo, potrebbe pensare la seguente cosa: La tesi vale se invece dei cerchi \odot(A_1PP') e ciclici si prendono i cerchi \odot(A_1PQ) , dove Q è un punto qualsiasi s...

Non è difficile immaginare che 1) e 2) sono in effetti equivalenti; per questi ho solo una soluzione non propriamente sintetica, come è invece per 3). Dunque: 1,2) Chiamiamo H_A e ciclici i piedi delle altezze. Per ovvie questioni di assi radicali B'B'',C'C'',AH_A concorrono in un punto X ; similmen...

Dopo aver a lungo meditato, propongo il nuovo probema della staffetta: Sia ABC un triangolo e P,P' due punti coniugati isogonali al suo interno. Siano A_1,B_1,C_1 le proiezioni di P sui lati BC,CA,AB e A_2,B_2,C_2 le seconde intersezioni del cerchio \odot(A_1B_1C_1) rispettivamente con i cerchi \odo...

Scrivo molto brevemente la mia soluzione. Innanzitutto è immediato notare che f^4(n+1)=f^3(f^3(n)-1)=f^3(n)+1 e quindi f^4(n)=n+f^4(0) , da cui si ha l'iniettività; inoltre si nota che se n>0 esiste m:\quad f(m)=f(n)+1 e quindi la funzione assume tutti i valori dal minimo a f(0) e poi tutti i valori...

Potrebbe darsi che non si possa prendere un $ Q $ con quelle proprietà interno al triangolo, ma solo se almeno uno tra $ ABC $ e $ \mathcal{T} $ è ottusangolo (e non è il caso di questo problema nella sua formulazione particolare).

In generale per problemi di questo tipo esiste un approccio geometrico piuttosto elementare. Se ABC è il triangolo e \alpha,\beta,\gamma sono i coefficienti di AP, BP, CP , supponiamo che si riesca a costruire un triangolo \mathcal{T} di lati \alpha, \beta, \gamma . Allora si può prendere un punto Q...

Adesso va bene; direi che si può procedere con il problema 71.