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EDIT: nel caso a-b=1 ci sono ancora problemi...

patatone ha scritto:hai sbagliato il verso alla fine... in realtà potresti accorgerti che con HM-GM è impossibile che venga perchè se un t_i andasse a 0 e tutti gli altri a infinito (caso limite) la somma dei reciproci andrebbe a infinito...

In effetti hai ragione...

La dimostrazione sfrutta il fatto che almeno un primo c'è. Per i casi piccoli può anche non esserci, ma si possono fare a mano. Tipo n=2 come hai fatto vedere ammette soluzione, per gli altri o non sono esprimibili come somma di quadrati, o sono abbastanza grandi affinché valga la dimostrazione.

Sono contento che ti sia piaciuto! Vai col prossimo...

Pongo per abbreviazione \tan{(a_i)}=t_i . Allora abbiamo che \sum_{i=o}^{n}{\tan{(a_i - \frac{\pi}{4})}}=\sum_{i=o}^{n}{\frac{t_i-1}{t_i+1}} = n+1-2 \cdot \sum_{i=o}^{n}{\frac{1}{t_i+1}} , quindi l'ipotesi equivale al fatto che \sum_{i=o}^{n}{\frac{1}{t_i+1}} \leq 1 . Si ha ora per AM-HM che \sum_{i...

mat94 ha scritto:Con ceva intendi dire: supponi per assurdo che il piede della perpendicolare ($L$) condotta da P su AB sia diverso da F, per ceva ti viene che AC,BD e PL concorrono quindi L è effettivafemente P?

Proprio così!

Lo dico pure per gli altri, si poteva fare anche con Ceva quell'allineamento! Era uno shortlist G1 delle Imo '94. Comunque bene, vai col prossimo!

Sia \Gamma un semicerchio con diametro su una retta r. Siano C, D punti qualsiasi su \Gamma . Le tangenti a \Gamma in C e in D incontrano r in B e in A rispettivamente, con il centro O del semicerchio compreso fra B ed A. Sia E=AC \cap BD e sia F il punto su r tale che EF \bot r . Provare che EF bis...

Uppo per la proporzione, ho provato a fare varie sostituzioni ma non riesco a dimostrarla, ed il secondo punto. Per la proporzione si può porre a=x(1-k^2) \ ; \ b=y(2k) e poi verificare a mano che c è uguale a quel valore (relazione+Pitagora) se e solo se x=y. Per la seconda parte si possono prende...

Utilizzo i vettori e fisso l'origine in O (per risparmiare tempo evito le freccette sui vettori) 1) Il baricentro di ABC è G= \frac{A+B+C}{3} . Il suo ortocentro è H=A+B+C . Il baricentro di BCH sarà dunque dato da G_a = \frac{A+2B+2C}{3} , quello di CAH da G_b=\frac{2A+B+2C}{3} , quello di ABH da G...

Mi pare di aver letto l'idea di questa dimostrazione un bel po' di tempo fa sul forum, ma sicuramente mi sbaglio. Sia G il baricentro. Il suo coniugato isogonale è il punto di Lemoine K su ABC (si può vedere facilmente in baricentriche, o vedendo i rapporti che mediane e simmediane staccano sui lati...

Dato p primo dispari, mostrare che vale:
$ \displaystyle \sum_{j=0}^{p}{\binom{p}{j} \binom{p+j}{j}} \equiv 2^p + 1 \pmod{p^2} $

Non ci sono n siffatti. Suppongo per assurdo che esista una soluzione (n, a, b). Allora avrei, dato che (a, b)=1 , che p|a oppure p|b (ma p non divide entrambi). Quindi alla fine avrò che a, b saranno della forma: a= a_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdots p_k \ ; \ b = b_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdots q_j dov...

Prendo a come nel mio post di sopra. Allora, sia o = ord_p(2) . Abbiamo necessariamente che o \mid a . Ora, suppongo per assurdo che o' = ord_{p^2}(2) \neq o . Innanzitutto avrei necessariamente che o \mid (p-1) . Inoltre per LTE avrei che 2 \leq V_p(2^{p-1}-1)=V_p(2^o-1) + V_p(\frac{p-1}{o})=V_p(2^...

Ok :) Solo una cosa: puoi chiarire perchè $p!+2^n$ non è una potenza di 2? (è falso che lo è solo se $p!=2^n$) Si, scusa, mi ero sbagliato. Allora, è chiaro che V_2(p!)=n altrimenti posso scomporre (p!+2^n) come prodotto di un numero pari per un numero dispari. Quindi si ottiene che p! è della form...