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L'intersezione della bisettrice di $ \angle BAC $ con $ \Gamma $, scusate

Dato un triangolo ABC sia \Gamma la circonferenza circoscritta e I l'incentro. Sia F un punto su BC ed E un punto sull'arco \widehat{BDC} (che non contiene A ) tali che \angle BAF = \angle EAC < \dfrac{\angle BAC}{2} . Sia M il punto medio del segmento IF . Mostrare che DM e EI concorrono su \Gamma .

Maioc ho controllato e sembra che vada tutto bene... sono d'accordo anche sulla facilità

Ci sono tante soluzioni, magari qualcuno ne trova un'altra e la posta (tutte comunque si assomigliano)

Comunque è troppo conosciuto: se x non è 0 allora x può essere espresso come prodotto di due interi solo in un numero finito di modi. Ma 3b=4 ((2^x)a+b)-(2^{x+2}a+b) quindi prodotto di due interi, in infiniti modi; per cui a=0. Sì, sapevo che fosse semplice, ma non immaginavo così conosciuto :( . V...

Penso di aver capito male quello che chiedi.. (2^x) a + b è un quadrato perfetto solo se a=0?? Ho detto di dimostrare che se 2^x\cdot a + b è un quadrato perfetto per ogni x naturale (incluso lo 0), allora deve essere per forza a=0 . In altre parole se b, a+b, 2a+b, 4a+b,... sono quadrati, allora a...

Se tutto è OK vado con il prossimo... ne metto uno semplice.

Problema 79. Dimostrate che, dati due interi non negativi $ a $ e $ b $, se $ 2^x\cdot a + b $ è un quadrato perfetto $ \forall x \in \mathbb{N}_0 $ (cioè sta anche lo 0), allora $ a=0 $.

Trovare tutte le $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che $ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ sia verificata la seguente relazione:

$ f(\left\lfloor x \right\rfloor y) = f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor $

Problema 78. Innanzitutto mostro che xy | x^2 + y^2 + 2010^2 . Infatti se p^n || xy allora poiché (x,y)=1 , p^n||x o p^n||y . In entrambi i casi per le ipotesi p^n|x^2+y^2+2010 e quindi, xy |x^2+y^2+2010^2 . Dunque per qualche k intero positivo \displaystyle\frac{x^2+y^2+2010^2}{xy} = k . Ora se (x,...

Vi propongo la soluzione "grezza" (secondo me la più bella :D ) del Problema 77. \textbf{Lemma 1} : Dati $x$ e $y$ interi positivi, $x\left(\left\lfloor \displaystyle\frac{y}{x} \right\rfloor+1\right) = y+1 \Leftrightarrow x|(y+1)$ . \textit{Dimostrazione} . Posso scrivere per il teorema d...

Ho ricevuto la conferma di kn. \textbf{Problema 73} Sia $P(n)$ la funzione che associa ad ogni intero positivo $n$ il numero di permutazioni di $\{ 1,2,...,n \}$ tali che $\forall 1 \leq i \leq n, ia_i $ è un quadrato ( $a_i$ è l'i-esimo termine della permutazione). Trova il più piccolo $n$ tale che...

Problema 72. Divido in due parti: - n primo $\Rightarrow k, t > \frac{n}{4}$ Chiaramente se n è primo allora $t=p$ . Trovo il più piccolo k t.c. $kp + 1 =x^2$ . Analizzo mod p e ottengo $x^2 \equiv 1 \pmod p \Rightarrow x \equiv 1,p-1 \pmod p . Escluso 1 il più piccolo x è proprio $p-1$ , da cui ris...

Probabilmente Tibor si riferisce a questo... Prendo una retta r e su essa $OA = 1$ e traccio un'altra retta s per O. Su uan stessa semiretta di origine O prendo $OB= x$ e $BC=1$ . congiungo B con A e da C traccio la parallela a BA che incontri r in D. Allora $AD = \frac{OA\cdot BC}{OB} = \dfrac{1}{x...

Ti accontento :) 1. Sia D il punto medio di O_1O_2 . Sia S l'intersezione di OD e O_1B . L'omotetia di centro S che manda O_1 in B e D in [tex]O[\tex] manda anche O_2 in A , quindi S \in AO_2 \Rightarrow BO_1,AO_2,OD concorrono in S . 2. Voglio dimostrare che M,S e N sono allineati. Per semplicità d...

(anche se andrebbe definito meglio chi è l'angolo alfa) Nella mia soluzione uso la notazione standard, quindi \angle BAC = \alpha . :) Ma scusa, forse sbaglio, ma se A sta sull'arco maggiore CB', il punto P non è definito si indichi con P la sua intersezione con la \textbf{retta} AB :wink:

Se A sta sull' arco minore CB', dove BB' è il diametro, allora P sta su AB (perché \angle ACB > 90 ). Inoltre CPB vale sempre 90+\alpha , dunque P descrive l'arco AB capace di 90+\alpha . Identico ragionamento se A sta sull'arco maggiore, solo che P descrive l'arco supplementare del precedente. In p...