OliForum Matematico

Ciao. Questo alcuni di voi dovrebbero averlo già visto... 4) In una piccola citta`ci sono n^2 case sistemate in un quadrato nxn chiamate (i,j) dove i e` l'indice della riga e j quello della colonna, che vanno da 1 a n spostandosi da in alto a sinistra a in basso a destra. In un certo istante 0 la ca...

Proviamoci… Analizzando il tutto modulo r notiamo che dev’essere 2q \equiv 0 \pmod r . Dunque r=2 o r=q. i) r=2 . Guardando l’equazione modulo 3 si ha che uno fra p e q dev’essere 3. Sia senza perdita di generalità q=3, e poniamo n=p-3 . Allora l’equazione diventa n^2-n-6=0 , da cui n=3 o n=-2, quin...

Se troviamo $ b_i\equiv b_{i-1} \pmod k $, allora è facile vedere che di lì in poi la successione è costante mod k.
Infatti $ b_{i+1}=b_i+i(b_i-b_{i-1})\equiv b_i \pmod k $

Ma basta notare che $ b_{k+1}=(k+1)b_k-kb_{k-1}\equiv b_k \pmod k $.

Cerchiamo n t.c. a_n=p(p+d), a_{n+1}=(p+k)(p+k+d) con p, p+d, p+k, p+k+d tutti primi dispari. Uno fra a_n e a_{n+1} è certamente multiplo di tre (basta vedere la successione mod 3), quindi p=3. Abbiamo a_{n+1}-a_n=2^n=k(k+d+6) , quindi k è una potenza di due. Se k>2 allora 6+d=3+3+d\equiv 0 \pmod 4 ...

HiTLeuLeR ha scritto:Perché dici che necessariamente $ 1+2r > n $?

Bè, 1+2r fa parte della progressione aritmetica (infinita) che parte da 1 e ha ragione r. Se fosse minore di n, allora (1+2r,n)=1, assurdo.
In effetti avrei dovuto scrivere $ 1+2r\geq n $

Bè, proviamoci. Non sono un granché in teoria dei numeri, quindi perdonatemi qualche passaggio di troppo o anche qualche cavolata. :D Cerco una prog. aritmentica con ragione r che parte sicuramente da 1 (perché (1,n)=1 per ogni intero positivo) e finisce in n-1 ((n-1,n)=1). Se n è dispari, allora (2...

Cosa intendi con "presi in qualche ordine"? L'ordine di una progressione aritmetica non è sempre crescente?

Soluzione poco algebrica e molto combinatorica (come si dice? :? ): Primo punto: dobbiamo contare i sottoinsiemi di n elementi scelti fra 2n. Allora partizioniamo l'insieme di 2n in due insiemi (A e B) disgiunti, ciascuno con n elementi. Scegliere n elementi fra 2n equivale a sceglierne 0 da A e n d...

Mi sembrerebbe ok. Se uso il condizionale è solo perché non mi fido per niente delle mie abilità di correttore! :D L'ho letta e capita, anche se mi pare che ti sia complicato la vita un po' troppo. Più che altro io non credo di saper trattare la successione finale; così ad occhio sembra intricata, m...

Ora va bene.

Uhm... il mistero si infittisce! :) Ora che mi ero convinto di aver malinterpretato il problema, ho trovato sul libro delle olimpiadi italiane questo stesso problema, e come risultato viene indicato \binom m n + \binom {m-1}{n-1} !!! :shock: :shock: Bah, rinuncio ufficialmente a capirci qualcosa... ...

Ciao! Allora, è facile vedere che possiamo limitarci al caso x,y numeri negativi. Supponiamo di aver trovato a,b negativi tali che a=\frac 1 b =b+\frac 1 a . Allora chiaramente f(a,b)=a . Se x>a allora f(x,y)\geq x>a=f(a,b) per ogni y, e quindi tali funzioni non ci interessano. Analogamente non cons...

Per fortuna diceva di essere fuori forma...

Ok gianmaria, la prima parte va bene. Però non hai completato l'esercizio! "La determinazione di un luogo geometrico richiede due dimostrazioni : per poter dire che il luogo cercato è L, si deve mostrare che tutti i punti con le date proprietà appartengono a L e poi bisogna far vedere che tutti...

Eccovi un bell'IMO che ho trovato molto interessante, soprattutto perché si fa molto rapidamente con un paio di ideuzze made in fph (vedi stage di pisa). Insomma, se come me dovete ancora ancora prendere confidenza con tecniche standard, mettetevi sotto. Siano A e B due vertici opposti di un ottagon...