OliForum Matematico

questo problema è stato proposto da stefano attanasio al tavolo dei romani di cesenatico 2005, ed è stato risolto in pochi minuti su un tovagliolo ( :shock: :shock: :shock: ) da frengo; voi fatelo pure su un quaderno, è un bel problema. Sia AB un segmento, e C un punto del piano tale che ACB=60°. Si...

In una gara matematica vengono assegnati n problemi. Si ha che - in ogni problema esattamente 3 persone hanno preso 7 punti - per ogni coppia di problemi esattamente 1 persona ha preso 7 in entrambi dimostrare che se n>7 allora esiste un ragazzo che ha preso tutti 7. si può dire lo stesso se n=7? è ...

a,b,c,d reali positivi
dimostrare che

$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd \geq abcd(a+b+c+d) $

astenersi esperti!

sono tenuti da professori delle varie università romane (o forse solo della sapienza... boh) sono piccoli incontri sempre molto simpatici, con problemi non tecnici a livello cesenatico, oltre a piccole lezioni teoriche (tipo sulle congruenze... come dimenticare l'immagine di stefano che stupisce la ...

Sia O_2 il circocentro di ACN; la condizione de punti conciclici diventa quindi O_2A=O_2O_1 . Ma O_2 si ottiene da O_1 tramite una rotazione di centro A con angolo CAB, e quindi O_2A=O_2O_1 se e solo se \widehat {O_2AO_1}=60° , ossia ABC e AMN sono equilateri per quanto riguarda il triangolo vietnam...

Non penso la statistica regga, visto che a Roma su più di 80 squadre (provenienti anche da Terni) ne sono passate solo 3.

Soluzione BRUTTA, gli esteti e i puristi non guardino, ma almeno imparo ad usare il bunching... Prima di tutto per comodità mando a in a^2 e così via, ottenendo \displaystyle \frac {ab+bc+ca}3 \leq \sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}8} Ora elevo al cubo ambo i membri e comincio i contazzi fi...

io ho fatto 5 quesiti giusti, tutto il primo problema, quasi tutto il secondo e metà del terzo. Un GRAZIE a Bacco per le lezioni estemporanee al WC!! comunque le risp sono Q. 1- 1.12m 2- 1.4% 3- 26.6 g 4- scende 5- 79 nF 6- 0.00111 1/K 7- 52 1/s, 3 fotoni 8- m1=15.5 g, m2=22.0 g 9- 336 m/s 10- 5 alf...

Ma gli invitati devono sostenere spese che poi saranno rimborsate (tipo treno, albergo, ecc) o non dobbiamo anticipare niente?

perfetta la soluzione di simone

Si fa anche con il trucchetto che per i complessi |z|^2=z\cdot z' , dove z' è il coniugato di z. Infatti, considerando i vertici dell'n-agono come le radici n-esime dell'unità z_1,z_2,...,z_n e indicando il punto P con il complesso w, si ha \displaystyle S=PA_1^2+PA_2^2+...+PA_n^2=\sum_{i=1}^n|z_i-w...

Ok!
Io invece l'avevo risolto con i complessi.

IMO 81, problema 2.
Sia $ 1\leq r\leq n $, e consideriamo tutti i sottoinsiemi di r elementi di {1,2,...,n}. Ogni sottoinsieme ha un elemento minimo. Sia $ F_{n,r} $ la media aritmetica di questi elementi minimi.
Dimostrare che $ F_{n,r}=\frac{n+1}{r+1} $.

Siano $ A_1,A_2,...,A_n $ i vertici di un n-agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria. Se P è un punto di tale cfr, dimostrare che
$ PA_1^2+PA_2^2+...+PA_n^2 $ è costante.

Sia $ P $ un punto interno ad un triangolo $ ABC $ e siano $ x,y,z $ le distanze di $ P $ dai tre lati $ a,b,c $. Sia inoltre $ R $ il raggio della circonferenza circoscritta ad ABC. Dimostrare che
$ \displaystyle \sqrt x +\sqrt y + \sqrt z \leq \sqrt{\frac {a^2+b^2+c^2}{2R}} $
Quando si ha l'uguaglianza?