OliForum Matematico

Dimostrare che $ 2^{3k} $ divide esattamente $ $\binom{2^{k + 1}}{2^{k}} - \binom{2^{k}}{2^{k - 1}}$ $

Non è un numero primo.

La mia scuola invece forma così bene le menti così bene che si copia sempre alla grande. Figuriamoci quest'anno che ce le fanno fare addirittura di pomeriggio

Ok, cerco di mettere un pò in ordine: Supponiamo il polinomio abbia una radice z con modulo diverso da 1, allora ho dimostrato che se z è una radice allore lo è anche $\frac{1}{\overline {z}}$ . Supponiamo anche la terza radice t abbia modulo diverso da 1. Se $t=z$ ( o $t=\frac{1}{\overline {z}}$ ) ...

Fatto, spero

Già, che semo Rimane il caso in cui una radice ha molteplicità 2 è la terza è l'inverso del coniugato. Ma allora deve essere $\frac{\overline{a}}{a}=-\frac{z^2}{\overline{z}}$ perchè il prodotto delle 3 radici è l'opposto del termine noto del polinomio diviso per il coefficiente del termine di grado...

mmm.. cioè?

Carino :D Un polinomio di terzo grado ha sempre tre radici. Sia z una di esse, quindi $p(z)=0$ . Il polinomio è "quasi palindromo", infatti $\overline{z}^3\cdot p(\frac{1}{\overline{z}})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0$ . Poichè $a$ è diverso da 0, anche $z$ lo è, quindi $p(\frac{1}{\overli...

Si scusa :oops: Intendevo dire di utilizzare la seconda strategia, cioè quella di fermarsi solo quando si trova il pacco da 40, tranne nel caso in cui il primo pacco è quello da 20 e il secondo quello da 30. Non posto i conti per pigrizia, ma così il guadagno teorico medio diventa leggermente maggio...

Questo era un problema di ammissione al Sant'Anna dell'anno scorso :D Sì, ma questo lo sapevo già... 8) Anche noi lo sappiamo ormai questo... :) Se il primo pacco è quello da 20 e il secondo è quello da 30 conviene tenerselo perchè (10+40)/2<30. Con questa modifica il gioco diventa vincente.

Innanzitutto scusa, mi sono fatto fraintendere :oops: (ma che centra stavolta la firma?) Sai che quello che hai postato (almeno secondo Wikipedia) è abbastanza equivalente una vecchia congettura di Euler? Mi sembrava strano che fosse assegnato ad un TST, tutto qui... Anzi, non vedo l'ora di vedere l...

Ma che fai? Prendi in giro?

NO!

Bellissima la soluzione, io non ci avrei mai arrivato

OTtone: Scusa Oblomov, ma sei russo anche tu?