OliForum Matematico

1)PQ nella sua formula iniziale non contiene lambda , 2)poi l'angolo gamma che tu scrivi come (alpha+ beta )/2 non ho capito bene...perché non sarebbe gamma= 180-alpha-beta. 3)ultima cosa $PQ = 2\lambda \cos{\alpha}$ non manca una radice? 1) è stato un typo, chiedo scusa e correggo... 2) ehm... ho ...

Sia $N$ un numero di quattro cifre e $R(N)$ il numero ottenuto invertendo tutte le cifre. Per esempio $R(3275) = 5723$. Trovare tutti gli $N$ tali che $R(N) = 4N+3$.

Calma e sangue freddo. Inizialmente ho cercato anche io una soluzione completa e, non trovandola, ho pensato che fossi io a non capire. In realtà il punto è che quelli che hanno risposto hanno saltato tutta la prima parte di dimostrazione. Te la scrivo con comodo adesso :) Con $PQ, AB, AP, QB$ ident...

Per prima cosa analizzo modulo $4$: $7^x*5^y \equiv (-1)^x-1 \pmod{4}$ da cui $2\mid x$. Posto $x=2a$ ottengo che $(7^a-z)(7^a+z) = 5^y$. Si ha quindi il sistema: $7^a-z=5^\mu$ $7^a+z=5^{\zeta}$ dove ovviamente $\mu +\zeta = y$. Sommando le due equazioni ottengo che $2\cdot 7^a = 5^{\mu}(1+5^{\zeta ...

Scusa ma non capisco da dove hai preso ML = 2 MN (perché questo mi sblocca tutto) Su segmento CL si prenda il punto M ( qualsiasi) e sulla perpendicolare a LC da M il punto N tale che si abbia ML=2*MN. karl non ha preso da nessuna parte il fatto che ML=2 MN, ma ha detto "prendo un punto M tale...

petroliopg ha scritto:Quindi le soluzioni sono $\displaystyle x<-1$

Ti sei dimenticato le condizioni di esistenza...

Ma infatti dico, Jensen nella tua disequazione VA usato, è conveniente... se poni $\displaystyle f(x) =\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ ti accorgi di una cosa...

Jensen si applica per esempio per dire che $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}f(a_j) \geq f(\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j}{n})$, no ?

è comunque a memoria mi sembra venire dall'Engel...

Finalmente mi è uscita :D bella, mi ha dato soddisfazione XD per prima cosa noto che $ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d)=1$ implica ovviamente che $\displaystyle a+c = \frac{1}{b+d}$. Riscrivo quindi l'espressione di partenza come $$\displaystyle \frac{a^3}{c+b+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{b^3}{d+a+c}+\frac{d^3...

Benvenuta ! Io ora devo andare in quinta, ed esattamente un anno fa mi ritrovavo messo un po' peggio di te :P E quest'anno ho fatto un buon punteggio a Cesenatico (ma buono sul serio per i miei parametri :D ) Quindi se da adesso inizi a smazzarti come pochi altri ce la farai eccome ad arrivare a Ces...

Alur, con jense... hai che $\sin(x)$ tra $0$ e $\pi$ è concava, e quindi vale che
$$\frac{1}{3}\sin{\alpha}+\frac{1}{3}\sin{\beta}+\frac{1}{3}\sin{\gamma} \leq \sin{\frac{\alpha +\beta +\gamma}{3}} = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

che è quanto ho dimostrato prima

Bon, nessuno risponde e quindi provo io a postare qualcosa di istruttivo... O almeno, è il metodo più geomtrico che mi è venuto in mente. Per prima cosa, ci ricordiamo che $\displaystyle A = \frac{ab\sin{\gamma}}{2}$ E quindi possiamo riscrivere la nostra espressione di partenza come $\displaystyle ...

Trovare tutte le soluzioni in $\mathbb{N}$ di $(a+1)(b+1)(c+1) = 2abc$.

Alur, per prima cosa si ciclano le variabili e si ottiene sommando le tre disequazioni che si ottengono in tal modo che $\frac{\sum a^6+\sum b^3 +\sum c^2}{abc} \geq 3K$ A questo punto per AM-GM sulle varie $\sum$ (che non sono altro che somme cicliche nelle variabili date) che $\frac{\sum a^6+\sum ...

Rilancio/hint