OliForum Matematico

Siano x , y degli interi dispari. Dimostrare che se n \geq 3 allora 2^n è esprimibile nella forma 2^n=7x^2+y^2 . E' preso dall'engel, ovviamente non sono in grado in farlo anche se ci sto provando da un bel pò. Sono andato anche a vedere la soluzione ma non ci ho capito molto... Voi come lo risolver...

Soluzione portata da casa (suona ridicolo per un contest fatto a casa...(l'ultima volta che ho portato da casa una soluzione, ho preso uno granchio tremendo... speriamo di non ripetere la performance)) Per comodità traslo tutto in B={1,2,....2193} A questo punto prendo tutti i numeri dell'insieme c...

Anche per me i problemi sono risultati difficili, infatti ne ho fatto solo uno sperando che sia giusto... Comunque è sempre bello provarci, e ringrazio jordan per aver organizzato quest'iniziativa, per essersi preso la briga di proporre i problemi e correggere le relative soluzioni

Al problema 3 cosa significa che i tre reali devono essere distinti a due a due? Che sono tutti diversi? O che due sono uguali e uno diverso?

Dopo che posti i problemi, potresti riscrivere l'elenco di tutti i partecipanti e a mano a mano che ti arrivano le soluzioni, spuntare i nomi di chi le ha inviate? Così possiamo avere la conferma che le hai ricevute (sempre se le mandiamo), in caso contrario magari avvisiamo

Il più piccolo numero di k cifre è 1\cdot 10^k . Il suo inverso sarà quindi il termine maggiore. Sia a il numero degli interi di k cifre tutte diverse da 7. Allora: $ a\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}> della somma di tutti gli inversi di tutti i numerri di k cifre, ma se pongo $ a\cdot \frac {1}{1\cdot ...

(prima di iniziarlo devo solo mettere \begin{document} e alla fine \end{document} o anche qualcos'altro?). Alessio Anch'io sono ignorante in materia, ho cominciato a vedere come scrivere un documento in \LaTeX solo da qualche giorno in vista dell'oliforum contest :P Comunque io non riesco a visuali...

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ \frac {a}{b} ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} . Ma dato che (a,b)=1 allora anche (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 e viceversa, quindi $ a^2+b^2 non sarà mai divisibile pe...

Non so se è giusto ma se x è una generica frazione del tipo $ \frac {a}{b} ridotta ai minimi termini allora la somma sarà $ \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^2+b^2}{ab} . Ma dato che (a,b)=1 allora anche (a^2,b^2)=(a^2,b^2+a^2)=(a,b^2+a^2)=1 e viceversa, quindi $ a^2+b^2 non sarà mai divisibile per...

p-1 è pari. Quindi metà delle classi di resto modulo p sono [1]_p,[2]_p...\left[ \displaystyle \frac {p-1}{2}\right]_p , mentre l'altra metà \left[ -\displaystyle \frac {p-1}{2}\right]_p ,...,[-2]_p,[-1]_p . Essendo inoltre p-1 divisibile per quattro, entrambe le metà delle classi di resto sono in ...

Infatti $ \left(\frac {p-1}{2}\right)!^2 si può anche scrivere come (p-1)\cdot (p-2)\cdots 2\cdot 1 dato che p-1 è divisibile per 4. Scusa ma se per esempio prendi p=5 quel fattoriale non è uguale alla produttoria che hai scritto... Beh, stavo ragionando con le congruenze...intendevo dire che $ \le...

1) Credo che si dimostri con il teorema di Wilson. Infatti $ \left(\frac {p-1}{2}\right)!^2 si può anche scrivere come (p-1)\cdot (p-2)\cdots 2\cdot 1 dato che p-1 è divisibile per 4. Ma il teorema di Wilson ci dice che questo prodotto è \equiv -1\pmod p 2) Se n è dispari allora tutti i residui mod ...

Distinguo 3 casi: Caso1 : si hanno solo due calzini di ugual colore consecutivi. Se la coppia si trova in posizione 1-2, 2-3, 4-5,5-6, si hanno sempre 6 possibili succesioni. Se invece la coppia si trova in posizione 3-4 se ne hanno 12. Totale: 36. Caso 2 : si hanno due paia di calzini dello stesso ...

La condizione che la somma di due elementi qualsiasi dell'insieme sia divisibile per 6, dovrebbe essere soddisfatta solo se l'insieme contiene i mutlipli di 6 oppure i numeri \equiv 3\pmod 6 . Ma quest'ultimo caso comprende un elemento in più, perciò il massimo numero di elementi dovrebbe essere $ \...

Un numero ha lo stesso numero di cifre del suo quoziente $ \frac {n}{5} se la prima cifra da sinistra è almeno 5, le altre possibilità sono quindi 7 e 9. La stessa cosa vale per tutte le altre cifre e cioè che devono valere almeno 5 (perchè altrimenti la cifra del quoziente sarebbe pari) oppure esse...