OliForum Matematico

@gzpes: cerca di specificare cosa significa ogni addendo, così è difficile starti dietro! @Francesco Veneziano: hai ragione, certo. Domanda: Che si può dire invece in generale di: \[ d_{\alpha} (A) = \lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{ m \in A, m \le n} m^{\alpha} \right ) \cdot \left ( \sum_{m \le n...

Maggiorazione di coefficienti con esponenti chiama Bernoulli, come si dice a roma (?)

Sia \(H=p_1 \cdot \ldots \cdot p_k\) il numero con cui cerchiamo un coprimo in \( S = \{a+b, \ldots, a \cdot n_k + b\} \). Per comodità poniamo \(c(n) := an+b\). Supporremo che \(p_i \nmid a\) per ogni \(i\), altrimenti si avrebbe \(p_i \nmid aj+b\) per ogni \(j\). First step. Innanzitutto dimostria...

EDIT: Sono un cretiiino!

Sia \(f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) una funzione continua. 1. Dimostrare che esistono infinite funzioni continue \(f^+, f^-\) rispettivamente crescenti, decrescenti tali che \(f(x) = f^+(x) + f^-(x)\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). 2. Sia \(\Delta x\) tale che \(x - \Delta x \le x \le x + \Delt...

Ah, bella cavolo! In realtà è sempre double counting, solo che la tua è più combinatorica e la mia è più algebrica! Comunque chiedo venia per il post lungo e apparentemente un po' cannonoso, però in realtà la cosa più complicata che ho usato è il prodotto di eulero, e boh, alla fine mi pare abbastan...

E se consideriamo \(x_1= p_1^{\alpha_1}, \ldots, x_k=p_k^{\alpha_k}\), qual'è il più piccolo \(n_k\) tale che almeno uno degli \( an+b\) al variare di \(1 \le n \le n_k\) sia coprimo con \(x_1\cdot \ldots \cdot x_k\) ?

Oddio che cretino, la maturità mi sta rincoglionendo... certo, \( \sqrt{2-2\sqrt{2} }\) è immaginario, quindi il modulo è 1. Tra l'altro ho scritto una serie di cavolate come \(a^2+b^2=\) modulo di \(z\), che non è vero perchè \( |z| = |a+ i (ib) | = a^2-b^2\). Vabè, lo ricontrollerò, scusate le cac...

Dimostreremo una cosa un po' più debole ma un po' più precisa, quindi manca ancora un pezzo da sporcaccioni per risponderti (c'è un \(n\) sufficientemente grande di mezzo). Fatto. Detto \( \displaystyle S_m = \sum_{k=1}^m \varphi(k) \), vale \[ \lim_{m \to \infty} \frac{S_m}{m^2} = \frac{3}{\pi^2}\]...

Mmm, quel lato mi è ostico, ma rilancio con \[ \sum_{i=1}^{2n} \varphi(i) < (2n)^2 \frac{6}{\pi^2} \sim n^2 \cdot 2.43.. \] che unito al fatto tuo è bello, perchè insomma, \(LHS\) va proprio come \(n^2\) ! P.S. Il problema è strafigo fes ma purtroppo lunedì ho la maturità, e tutto ciò che faccio sul...

Si, bravo! C'è giusto una soluzione del (2) più semplice che non passa per i primi e che, tra i 4, fa eccezione nel metodo (me ne sono accorto dopo). Adotto una notazione più comoda per non morire di latex (cit.): se \(f(n)\) è una funzione aritmetica, chiamo \[ f^* = \sum_{n \in \mathbb{n} } \frac{...

Se fosse vero questo lemma: Densità. Sia \(A \subseteq \mathbb{N} \). Indichiamo \( S(x)= S \cap [1, \ldots, x] \) , dove \(S\) è un generico insieme. Allora, detta \(d(A)\) la densità di \(A\), si ha : \[ d(A) = \lim_{x \to \infty} \left ( \sum_{a \in A(x) } \frac{1}{a} \right )\left ( \sum_{n \in ...

no, quello a pagina 3 di http://ns1.ias.ac.in/resonance/Volumes/ ... 1-0092.pdf

Se fosse di modulo 1, sono d'accordo, infatti, detti \(a= \sqrt{2}-1 , b= \sqrt{2-2\sqrt{2} } \), consideriamo: \[ p(x) = (x+a+b)(x-a-b)(x+a-b)(x-a+b) = (x^2-(a+b)^2 ) (x^2-(a-b)^2) = \] \[= x^4 - [ (a+b)^2+(a-b)^2 ] x^2 + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2( a^2+b^2) + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2+(a^2-b^2)^2 \] us...

Basta pensare che, per ogni quadrato \(q\) in \(1, \ldots, n/s\), dove \(s\) è uno squarefree \(\le n\), esiste un non-squarefree, precisamente \(qs\), in \(1,\ldots, n\). Anzi, questa è una bigezione, perchè vale anche il contrario: ogni non-squarefree è composto da uno squarefree \(\le n\) e un qu...