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Piazzato il nuovo problema!

Dati $k$ ed $m$ interi positivi con $m$ dispari, dimostrare che esiste $n$ tale che $2^k\mid n^n-m$.

P.S. spero vada bene

Suppongo che per qualche $a$ e $b$ esistano almeno due primi consecutivi nella successione, avrò quindi che $b^n-1\mid a^n-1$ e $b^{n+1}-1\mid a^{n+1}-1$, da cui $b-1\mid a^n-1$ e $b-1\mid a^{n+1}-1$ e di conseguenza $a^n\equiv 1 \pmod{b-1}$ e $a^{n+1}\equiv 1 \pmod{b-1}$. Quindi ho che $ord_{b-1}{a...

Se è giusto quello che ho fatto credo funzioni anche con $n^2+n+2$ scienziati e $n$ argomenti...

Allora... provo la versione $2n^2$ scienziati e $n$ argomenti. Considero il grafo completo $n$-colorato con vertici gli scienziati e archi di colore diverso a seconda dell'argomento di cui parlano i due vertici. Voglio trovare quante "V" monocromotiche ci sono al minimo, considero quindi u...

Dimostro anche io solo la prima freccia.. $AI$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $\bigtriangleup{CEI}$, perchè $\angle{AIE}=\frac{\alpha+\beta}{2}=45^\circ=\angle{ICE}$, quindi $AI^2=AE\cdot AC$. Analogamente $BI$ è tangente alla circonferenza circoscritta a $\bigtriangleup{CDI}$, da cui ...

Primo post!!.. con una dimostrazione euclidea... Allora... Poichè $DE$ è tangente a $\gamma$ ho che $\angle{DEF}=\angle{EAB}$, ma ho anche che $\angle{DFB}=90^\circ -\angle{EBA}=\angle{EAB}$. Quindi $\angle{DEF}=\angle{DFB}$, cioè $\bigtriangleup{DEF}$ è isoscele su base $EF$, da cui $DF^2=DE^2=DC\c...