OliForum Matematico

Mmm, rispondo al punto a). Coloriamo gli assi di rosso e tutte le altre carte di blu. I valori delle carte ce li possiamo pure scordare. Le configurazioni in cui una carta rossa è alla \(k\)-esima posizione sono \( \displaystyle \binom{40-k}{3}\), ossia i modi di disporre le rimanenti \(40-k\) carte...

@Troileto: vedi, quando sei costretto a studiare fisica, ti convinci che tuffarti nelle cose più sporche sia entusiasmante.
@Draco: confermo, e in realtà i conti non sono nemmeno così brutti!

Io ho ragionato piú o meno così: supponi che l'auto si fermi al pit stop l'\(i\)-esima volta dopo \(a_i\) giri. Diciamo si ferma quindi dopo \(a_1, ..., a_k\) giri; la soma fa \(n_g\) (nel nostro caso 120). Riesci q dire il tempo totale in funzione della sequenza e di \(t_b, b_g,t_p, n_g\), rispetti...

Si, scusa, mi sono dimenticato di aggiungere \(x \neq y\) (che discende dalle prime due righe).

Grande gpzes! Daje così Manca solo di dimostrare che con un \(m\) più piccolo non si può fare

( Atttenzione, spoiler in the testo nascosto !) Per quanto riguarda il bonus, in generale vale \(S(n) = D_1(n) - D_3(n)\), dove: - \(S(n)= |\{ (a,b): \ \ a,b \in \mathbb{N} \ \ a^2+b^2 = n\}|\); - \(D_1(n) = |\{ d \mid n: \ \ d \equiv 1 \pmod{4} \}| \), e \(D_3(n)\) definito similmente. Quindi la ri...

Visto che nessuno posta, intanto scrivo io una soluzione puzzona e un po' barona. Scelto \(r\) tale che \(2^{r+1} > k\), imponiamo che \( n \not \equiv -1, -2, \ldots, -k \pmod{2^{r+1} } \ \ (*) \). In questo modo, visto che \( \omega(m)=s \ \ \Rightarrow \ \ 2^s \mid \varphi(m) \), sicuramente la s...

@xXStephXx: tutto giusto, solo piccoli dettagli "formali": - avevo messo \(< m\), quindi va sostituito un \(m\) a tutti gli \(m+1\) (ma questa è solo estetica, diciamocelo); - avevo fissato \(n,k\), perciò la condizione era su \(m\), perciò il risultato è \( m \ge \sqrt[k]{n} \); nella pri...

@gzpes: \(1,2,4, \ldots, 512\): nessuna assegnazione di \(0,\pm 1\) produce un numero divisibile per \(1024\). \(1,1023,4, \ldots, 512\): assegnando \(+1, +1, 0, \ldots, 0 \) si produce un numero divisibile per \(1024\). Che intendi con il tuo "ma anche"? Rilancio: Siano \(k,n \in \mathbb{...

Il problema si può riformulare con \(k\) al posto di \(10\) e \(n\) al posto di 1001 in questo modo. Siano \(n,k \in \mathbb{N} \) e sia \(A = \{1, \ldots, k\}\). Dati \(a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{N} \), trovare (se esistono) \( S_1, S_2 \subseteq A\) tali che \[ \sum_{i \in S_1} a_i = \sum_{i \in...

Sia \(f(x)\) una funzione concava e crescente in \([0,N]\). Dimostrare che \[ \int_0^N f(x) dx \le \sum_{k=1}^N f(k) \le \int_0^N f(x) dx + \frac{f(N) - f(0)}{2} \] N.B. Sugli integrali non serve sapere praticamente nulla, se non queste proprietà base (scrivo per chi non li conosce): 1. L'integrale ...

E chi ti dice che \(S_f\) abbia massimo? Eh, infatti la mia domanda era proprio se "la derivata da un certo punto in poi si annulla in tutti i punti" significasse che \(S_f\) fosse limitato. A quanto pare no! :D In realtà dimostrare che \(S_f\) abbia massimo è equivalente a dimostrare che...

Domanda da ignorantone: sia \[ S_f = \{ k_x: \ x \in \mathbb{R}, \ |f^{(k_x-1)}(x)| > 0, \ \forall k \ge k_x \ \ f^{(k)}(x) = 0 \} = \{\mbox{insieme dei punti dove si iniziano ad annullare le derivate} \} \] Per come è posto il problema, si intende che \(S_f\) sia limitato? Non credo eh, però non si...

E' vero, quanta saggezza, sono stato un po' frettoloso! Modulo conti, ho capito il concetto. Però che bello, sono ben più contento di questa risposta che di quella che mi aspettavo. Grazie a entrambi! Per curiosità: è vero anche il contrario? Cioè se invece \(f'(x) \) è limitata allora \(f(x)\) è BV...

Mmm. Mmm. Non capisco perchè \[\Delta f\left[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}\right] = \frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k} \] Non mi pare che corrisponda alle definizioni di \(f, \Delta f\). Comunque sono certo che sono ottuso, e la cosa che hai scritto sarà fuor di dubbio ragionevole. Ma allora non mi quadra qu...