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Si, probabilmente non ho contato bene il numero di iterazioni, comunque l' ho risolto così: Risulta f(2013)=2013^2f(2013)-2012^2f(2012) 2014f(2013)=2012f(2012) (1) ma ora f(2012)=2012^2f(2012)-2011^2f(2011) 2013f(2012)=2011f(2011) f(2012)=\frac{2011f(2011)}{2013} e sostituendo nella (1) 2013*2014f(2...

Per caso

$ f(2013)=\frac{1}{2014} $ ?

Se è corretto posto il procedimento.

Credo di aver capito. Comunque, come avrai intuito, è la presenza dei valori assoluti a crearmi problemi (o per meglio dire, il valore assoluto "spezzettato" tra i vari termini) nella rappresentazione. Quando parlo di valori assoluti "spezzettati" tra i vari termini intendo espre...

La radice quadrata di un numero reale non negativo x è definita come quel numero NON NEGATIVO il cui quadrato è x.
Quindi quell' equazione non ha soluzioni e la radice quadrata di 4 è 2.

Sviluppo il prodotto al RHS e ho: a^2+b^2+c^2+abc+2\geq c+b+bc+a+ac+ab Moltiplico tutto per 2 a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+2abc+4-2ab-2ac-2bc\ge 2a+2b+2c (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c +1+1+1+1+2abc\ge0 (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+2abc+1\ge 0 Vera perchè per ipotesi a,b,...

Pongo C=z^3 , che è evidentemente maggiore di 0, e applico AM-GM alla coppia (C;z^2(2-z)) : \displaystyle \frac{z^3+2z^2-z^3}{2}=z^2\ge\sqrt{C\cdot z^2(2-z)} Adesso abbiamo 0<z\le 1 quindi z^2 sarà tanto più piccolo quanto più piccolo sarà z , di conseguenza il massimo del RHS si ha per il massimo d...

In effetti, è esattamente il contrario; a questo punto non so proprio come procedere
In realtà so che posso dimostrare la crescenza o la decrescenza studiando il segno della derivata prima della funzione, però non mi sembra molto olimpico e istruttivo come approccio.
Hintino?

@Jordan Vogliamo dimostrare che la funzione è decrescente, ossia se x_1>x_2 \iff f(x_1)<f(x_2) per ogni x, supponiamo per assurdo che esistano x_1 e x_2 tali che x_1>x_2 \iff f(x_1)\ge f(x_2) , allora sostituendo si ha: \displaystyle \frac{2}{x_{1}^2}-\frac{1}{x_{1}^3} \ge \frac{2}{x_{2}^2}-\frac{1}...

Faccio un tentativo per dimostrare che il LHS (il membro di sinistra della disequazione) decresce al diminuire di xy , con xy che varia in (0,1] , chiaramente un xy compreso tra 0 e 1 è una frazione, diciamo xy=\frac{1}{z} , allora sostituendo si ha: \displaystyle 2\cdot\frac{1}{z^2}\cdot\frac{2z-1}...

Pensavo di aver sbagliato l' approccio e ho ricontrollato venti volte, fino a quando, perdonatemi lo strafalcione, non mi sono accorto che l' unico problema è che $ 1 $ è il massimo, non il minimo
Grazie Jordan.

p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?

E' davvero un PreIMO? Boh, credo di esserci riuscito: (xy)^2((x+y)^2-2xy) \le2 (xy)^2(4-2xy)\le2 4(xy)^2-2(xy)^3 \le 2 (xy)^2(4-2xy)\le 2 e abbiamo finito, perchè il massimo di xy , con la condizione x+y=2 , è 1 , e andando a sostituire dà proprio 2 . p.s. i vari \le sono da intendere come "int...

Dato il tuo ps. immagino di star per dire tante fesserie. Possiamo riscrivere come: x(x+32)=y^3 quindi sia x che x+32 sono cubi perfetti x=k^3 x+32=t^3 sottraggo membro a membro la seconda dalla prima t^3-k^3=32 (t-k)(t^2+tk+k^2)=32 Adesso distribuendo i fattori, tenendo conto che il secondo fattore...

Che bello non considerare i numeri compresi tra 0 e 1 :lol: Ma abc=1 mi garantisce che LHS \ge 3 ? EDIT: ok, si, perchè basta considerare il minimo di a^2+b^2+c^2 con la condizione abc=1 , che risulta proprio 3 per AM-GM sulla terna (a^2,b^2,c^2) . Con permesso edito e correggo la soluzione.

La condizione abc=1 è strettamente necessaria? Perchè altrimenti: moltiplico ad entrambi i membri per due e addiziono tre ad entrambi i membri a^2 +a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2a-2b-2c +1 +1 +1 \ge 3 (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)+a^2+b^2+c^2 \ge 3 (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+a^2+b^2+c^2 \ge 3 EDIT: L' ultima...

Mi è venuta in mente una dimostrazione terra terra che P(1) non può essere 0: supponiamo P(1)=0 , allora: P(1)P(2)=P(3) \rightarrow P(3)=0 P(2)P(3)=P(7) \rightarrow P(7)=0 P(3)P(4)=P(13) \rightarrow P(13)=0 P(7)P(8)=P(57) \rightarrow P(57)=0 e continuando così troviamo sicuramente più di 22 valori p...