OliForum Matematico

Wahoo, pensare che a prima vista il 4 mi sembrava ben più complicato del 5!
Complimenti vivissimi a ITA2, spero sia in zona oro!

Ed ora il problema 1. Lo risolvo con il teorema della secante, ovvero, detto C_1 il punto medio di AB , verifico che l'espressione 4(c/2 - HC_1)(c/2 + HC_1) = c^2 - 4 HC_1^2 è in realtà ciclica nelle variabili (a,b,c) . Ricordando che AH=2R\cos A e cicliche, applico il teorema della mediana al trian...

Provo a far saltare fuori il secondo punto del 2. Impongo \frac{x}{x-1}=\cos\theta\quad\frac{y}{y-1}=\sin\theta\cos\phi\quad\frac{z}{z-1}=\sin\theta\sin\phi , così la seconda è soddisfatta. A questo punto x=\frac{\cos\theta}{1-\cos\theta} eccetera, in quanto f(x)=x/(1-x) è involutiva. Imporre che il...

Il terzo mi sembra anche piuttosto lasco... correggetemi se sbaglio: 1) Prendo un primo p\equiv 1\pmod{4} maggiore di 13 e NON della forma m^2+1 . Lo scrivo come p=a^2+b^2 , con a>b>0 . 2) Dato che (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 cerco un intero Q=c^2+d^2 per cui 2Q<p . 3) Impongo (ad-bc)=1 ,...

In 5 variabili, sia e_k la k-esima funzione simmetrica elementare (somma dei prodotti a k a k delle variabili) e p_k la somma delle k-esime potenze delle variabili. Si ha n | e_1 = p_1 n | p_2 2 e_2 = e_1^2 - p_2 n | e_2 Per le formule di Newton-Girard 5e_5 - p_5 = e_4 p_1 - e_3 p_2 + e_2 p_3 - e_1 ...

Davvero carino questo problema! Lascio qualche step in minuscolo. 1) Sono in k^2. Faccio due passi, restando indietro di 1 rispetto al mio target, che è momentaneamente (k+1)^2. Allora faccio altri due passi per raggiungere un nuovo target, che è (k+2)^2. Resto indietro di 2... 2) Il primo quadrato ...

$ n = d \cdot 2^a, d\equiv 1 \pmod{2} $
$ \phi(n) = n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right) = 2^{a-1} d \prod_{p|d}\left(1-\frac{1}{p}\right) \geq 2^{a-1} \cdot d \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\omega(d)} $
$ \phi(n) \geq 2^{a-1} d^{\frac{\log 2}{\log 3}} \geq \frac{1}{2} n^{\beta>0} $

Faccio piovere dal cielo un suggerimento-chiave: (2x^2+2xy+3y^2)(2z^2+2zw+3w^2) = 4\sigma\bar{\sigma} \sigma = ((x+y/2) - \sqrt{-5}\,y/2)((z+w/2) - \sqrt{-5}\,w/2) 2\sigma = (2xz+xw+yz+3yw)-\sqrt{-5}\,(yz-wx) 4\sigma\bar{\sigma} = (2xz+xw+yz+3yz)^2+5(yz-wx)^2 Ora basta provare che se -5 è residuo qu...

Oppure: si prova per induzione sulla struttura del triangolo di Tartaglia (ogni numero è somma dei due che lo sovrastano, detta spiccia) che \sum_{n=k}^{m}{n \choose k}={{m+1} \choose {k+1}} A questo punto un polinomio in n di k- esimo grado può essere espresso come combinazione lineare a coefficien...

Polo: il buco con la caramella attorno.
Alias: 9 = 1+8.

2) Dividendo per $ \sin^3(2\pi/7) $, utilizzando la formula di duplicazione del seno e le stesse convenzioni di prima la tesi diviene: $ 8t^3+4t^2-4t-1=0 $, che abbiamo già provato.

1) Vogliamo provare \frac{1}{\sin(\pi/7)}=\frac{1}{\sin(2\pi/7)}+\frac{1}{\sin(4\pi/7)} . Chiamando t = \cos(2\pi/7) ed utilizzando le formule di duplicazione e triplicazione del seno la tesi si trasforma in \frac{1}{4t^2-1}=1+\frac{1}{2t} , ovvero 8t^3+4t^2-4t-1=0 . Chiamando ora \zeta=e^{\frac{2\p...

$ \left\{\begin{array}{rcl} b\,BK - c\,CK &=& 0 \\ BK + CK &=& a\end{array}\right. $

Parzialmente Off-Topic (mi rivolgo a Barsanti-Gobbino-Morandin-Pernazza): avete bisogno di gente che venga a correggere, al pomeriggio? Sempre se mi ritenete degno, obviously.

Perché la bisettrice taglia il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati tra cui è compresa, ovvero \frac{AC}{AB}=\frac{CK}{BK} conseguenza del fatto che \frac{AC}{AB}=\frac{AC\cdot AK\cdot\sin(\widehat{CAK})}{AB\cdot AK\cdot\sin(\widehat{BAK})}=\frac{[AKC]}{[AKB]}=\frac{AK\cdot CK\cdot\sin(\wi...