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da spugna
24 apr 2013, 00:35
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Espansione decimale di $2000^n$
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Re: Espansione decimale di $2000^n$

Prima di tutto, per comodità, chiamiamo $a$ il numero formato dalla sequenza di cifre con cui deve iniziare la nostra potenza: deve risultare $a \cdot 10^m < 2^n < (a+1) \cdot 10^m$ per qualche intero positivo $m$, ovvero $m+\log a<n \cdot \log 2<m+\log(a+1) \Rightarrow r_1<n \cdot \log 2-m'<r_2$ do...
da spugna
19 apr 2013, 21:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$, con $1\le k\le 9$
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Re: $n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$, con $1\le k\le 9$

Sappiamo che tutti i quadrati perfetti dispari sono $\equiv 1$ $(\mod 8 )$, per cui risulterà $\sum_{i=1}^{k}{a_i^2} \equiv k$ $(\mod 8 )$. Se quindi prendiamo un $n \equiv 2$ $(\mod 8 )$, l'unico modo per esprimerlo come risultato di quella sommatoria è con $k=2$: abbiamo perciò l'equazione $p^2+q^...
da spugna
04 apr 2013, 23:02
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$
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Re: $d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$

E' ben più facile di quanto sembra! :) Hint: n deve essere divisibile per tutti gli interi tra 1 e 6. Perchè? E allora? Uffa, perché nei problemi di TDN non ho mai queste illuminazioni? :cry: Comunque... Divisibilità per 3: se $n$ non fosse multiplo di $3$, i quadrati di tutti i suoi divisori sareb...
da spugna
02 apr 2013, 20:05
Forum: Geometria
Argomento: 49. Una bisettrice e un'inversione
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Re: 49. Una bisettrice e un'inversione

Comunque bisogna aspettare spugna :D Chiedo scusa, ero a Vienna! 8) (Fonte?) In realtà nessuna, sono due fatti che mi sono saltati fuori quasi per sbaglio mentre cercavo di fare un'altra cosa con Cabrì... :lol: infatti li ho messi nell'ordine che capitava, chiedo scusa anche per questo! il primo ch...
da spugna
27 mar 2013, 19:50
Forum: Geometria
Argomento: 49. Una bisettrice e un'inversione
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49. Una bisettrice e un'inversione

Siano $\Gamma$ una circonferenza, $A$ e $B$ due punti interni ad essa e $r$ l'asse del segmento $AB$: $\Gamma$ e $r$ si intersecano in $X$ e $Y$ e le circonferenze $\gamma_1$ e $\gamma_2$, entrambe passanti per $A$ e $B$ e coi centri rispettivamente in $X$ e $Y$, intersecano $\Gamma$, rispettivament...
da spugna
23 feb 2013, 11:31
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Gare di febbraio 2013
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Re: Gare di febbraio 2013

Ma il primo dimostrativo viene anche a voi (1,1,1), (1,1,2) e (1,2,3)? Mi sembrano un po' troppo semplici per essere le uniche soluzioni...
da spugna
15 feb 2013, 00:44
Forum: Geometria
Argomento: 48. Cerchio turco
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Re: 48. Cerchio turco

Chiamiamo $T$ l'intersezione $AB \cap PQ$, $2 \theta$ l'angolo $\widehat{POQ}$, con $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$, $\alpha$ e $\beta$ gli angoli $\widehat{PQX}$ e $\widehat{QPX}$, e $r$ il raggio della circonferenza: indipendentemente da $X$ si ha $\widehat{PXQ}=\dfrac{2\pi-2\theta}{2}=\pi-\theta \Right...
da spugna
11 feb 2013, 16:14
Forum: Geometria
Argomento: Costruzioni su un quadrato
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Re: Costruzioni su un quadrato

In effetti ricordo che nel risolverlo la prima volta mi erano venuti dei calcoli abbastanza brutti, infatti ho messo questo problema per vedere se qualcuno avrebbe trovato una soluzione decente... Ora, riprovandoci, ne ho trovata una decisamente migliore per la prima parte... Vedo cosa riesco a fare...
da spugna
22 gen 2013, 17:54
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Divisibilità dagli usamo
Risposte: 13
Visite : 1880

Re: Divisibilità dagli usamo

Triarii ha scritto: Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo :lol:
Non c'è due senza tre :P
da spugna
21 ott 2012, 09:07
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza cinese con gli $H_n$
Risposte: 6
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Re: Disuguaglianza cinese con gli $H_n$

Supponiamo per assurdo che per ogni $k \in \mathbb{N}$ non ci sia un $H_n$ compreso tra $k+x$ e $k+y$: allora esisterebbe un intero positivo $a_k$ tale che $H_{a_k} \ge k+y$ e $H_{a_k-1} \le k+x$, da cui seguirebbe per sottrazione membro a membro $\dfrac{1}{a_k} \ge y-x \Rightarrow a_k \le \dfrac{1}...
da spugna
14 ott 2012, 10:20
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=n$
Risposte: 7
Visite : 1577

Re: $\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=n$

Si può dimostrare per induzione: la tesi è valida per ogni $n$ che può essere espresso come potenza di un numero primo; inoltre, se è valida per un certo $n$, allora lo è anche per $n \cdot q^k$, dove $q$ è un primo che non divide $n$ Innanzitutto ricordiamo che $\varphi(n)=n \cdot \prod\limits_{p \...
da spugna
09 ott 2012, 22:38
Forum: Algebra
Argomento: I coeff dei polinomi sono anche radici
Risposte: 1
Visite : 665

Re: I coeff dei polinomi sono anche radici

Supponiamo come primo caso $a_0 \neq 0$ Osserviamo che: 1) Per Viète si ha $a_0a_1a_2...a_{n-1}=(-1)^na_0 \Rightarrow a_1a_2...a_{n-1}=(-1)^n \Rightarrow a_i=\pm1$ $\forall 1 \le i \le n-1$ 2) Siccome i coefficienti sono anche radici, dalla (1) segue $p(x)=(x-1)^p(x+1)^q(x-a_0)$, con $p+q=n-1$ Ora a...
da spugna
01 ott 2012, 22:41
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $a+be | ab+e$
Risposte: 4
Visite : 799

Re: $a+be | ab+e$

Non basterebbe prendere $b=1$ e $a>1$? Sarebbe troppo facile per essere un tuo problema! :mrgreen:
da spugna
30 set 2012, 23:48
Forum: Combinatoria
Argomento: Sequenze di elementi
Risposte: 3
Visite : 851

Re: Sequenze di elementi

Ecco, puoi spiegarmi come ricavi l'equazione? Non so quanto sia noto questo fatto: data una successione $a_1,a_2,a_3,...$ tale che $a_{n+1}=ha_n+ka_{n-1}$ dove $h$ e $k$ sono due costanti, esistono $\alpha,\beta,p,q$ tali che $a_n=\alpha p^n+\beta q^n$ $\forall n \in \mathbb{N}^+$ Infatti sostituen...
da spugna
30 set 2012, 22:11
Forum: Algebra
Argomento: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Risposte: 6
Visite : 962

Re: 56. La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$

Abbiamo $y^5-y^3+y-2=0 \Rightarrow \left(y+\dfrac{1}{y} \right) (y^5-y^3+y-2)=0 \Rightarrow y^6=2y+\dfrac{2}{y}-1$ Ora è sufficiente dimostrare che $4 \le 2y+\dfrac{2}{y}<5$, e ciò accade sicuramente se si ha $1<y<2$ Siccome $p'(x)=5x^4-3x^2+1>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, esiste un'unica soluzione...