La ricerca ha trovato 39 risultati

da travelsga
27 giu 2009, 11:24
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: p/x^2 + q/y^2 = 1 <=> p+q = k^2 Galileiana 2007
Risposte: 10
Visite : 2072

Dopo aver ricavato la variabile x in funzione di y , si ottiene \displaystyle x^2=\frac{py^2}{y^2-q}=p+\frac{pq}{y^2-q} ; essendo p e q primi, le uniche possibilità sono: 1) y^2-q=1\Rightarrow (y+1)(y-1)=q , da cui y-1=1 , y+1=q\Rightarrow y=2,q=3 . Sostituisco e trovo x^2=p+3p=4p che chiaramente no...
da travelsga
20 mag 2009, 14:14
Forum: Algebra
Argomento: polinomi irriducibili, tanto per cambiare.
Risposte: 13
Visite : 2411

punto b)... Siano x_1,\cdots,x_p le radici di p(x)=x^p-x+p , come primo passo dimostriamo che sono tutte >1 in modulo: supponiamo per assurdo che ci sia una radice x_j tale che |x_j|\le 1 , allora si avrà p(x_j)=0\Rightarrow p=|x_j^p-x_j|\le |x_j|^p+|x_j|\le 2 , ma p>2 per ipotesi (p è un primo disp...
da travelsga
20 mag 2009, 13:50
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: p^p^n+1 è prodotto di almeno 2n+1 fattori primi
Risposte: 3
Visite : 821

Ne sei sicuro? $ 1-x+x^2 \mid 1-x^3+x^6 $
Effettivamente quando divido per $ x^{p^n}+1 $ perdo un mucchio di radici.
da travelsga
16 mag 2009, 17:04
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: p^p^n+1 è prodotto di almeno 2n+1 fattori primi
Risposte: 3
Visite : 821

Induzione! per n=1 la tesi è verificata perchè chiaramente p^p+1=(p+1)(1-p+\cdots+p^{p-1}) ha più di tre fattori primi. Al passo n+1 si ha p^{p^{n+1}}+1=(p^{p^n})^p+1=(p^{p^n}+1)q(p^n) , con \displaystyle q(x)=1-x+\cdots+x^{p-1}=\frac{x^p+1}{x+1} ; per ipotesi induttiva il primo fattore ha un numero...
da travelsga
14 mag 2009, 15:07
Forum: Algebra
Argomento: Ineguaglianza
Risposte: 12
Visite : 2685

Posto questa (in)decente soluzione: sia wlog x=max\{x,y,z\} ; \displaystyle\sum_{cyc}{\frac{1}{x+y}\le\frac{3}{2}\rightarrow 2\sum_{cyc}{(x+y)(y+z)}\le 3(x+y)(x+z)(y+z) omogenizzo ed ottengo \displaystyle 2(xy+yz+zx)\sum_{cyc}(x+y)(y+z)\le 3(x+y)(x+z)(y+z)(x+y+z)\rightarrow 2(xy+yz+zx)\sum_{cyc}{x^2...
da travelsga
12 mag 2009, 17:04
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: esponenziale un po strana
Risposte: 5
Visite : 1311

Bonus question... Lemma: la successione b,b^b,b^{b^b},... diventa costante modulo n da un certo punto in poi. Dimostrazione: sia m=(b,n)\rightarrow b=md e sia \displaystyle M=\prod_{p_i|m , p_i^{a_i}||n}{p_i^{a_i}}\rightarrow n=dM , la tesi risulta verificata se la successione \{b_i^{e_i}\}_{i\in\ma...
da travelsga
06 mag 2009, 22:14
Forum: Algebra
Argomento: polinomi irriducibili, tanto per cambiare.
Risposte: 13
Visite : 2411

:oops: Comunque, aggiungendo l'ipotesi $ \alpha $ diverso da 0 in $ \mathbb Z_p $, almeno il caso (a) dovrebbe essere salvo.
da travelsga
06 mag 2009, 21:28
Forum: Algebra
Argomento: polinomi irriducibili, tanto per cambiare.
Risposte: 13
Visite : 2411

Provo a dimostrare un fatto più generale. Supponiamo per assurdo che p(x)=x^p-x+\alpha sia fattorizzabile in \mathbb Q[x] allora, in virtù del lemma di Gauss, avrà pure una fattorizzazione in \mathbb Z[x] . Osservando p(x) in \mathbb Z_p , si ha p(x)=x^p-x+\alpha=x-x+\alpha=\alpha e pertanto tale po...
da travelsga
05 mag 2009, 21:03
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: n| phi(n)sigma(n) +1 allora omega(n)>2
Risposte: 6
Visite : 987

Avevo completamente dimenticato di analizzare il caso \omega(n)=1 :oops: Vediamo di concludere il lavoro... Come si è notato in precedenza ogni primo che compare nella fattorizzazione di n ha esponente 1, infatti \forall 1\leq i\leq k si ha \displaystyle\prod_{1\leq i\leq k}{p_i^{a_i-1}(p_i^{a_i+1}-...
da travelsga
05 mag 2009, 19:09
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: n| phi(n)sigma(n) +1 allora omega(n)>2
Risposte: 6
Visite : 987

Credo che hai abbondato di pq
Ops :oops:
ci spieghi meglio comunque perchè è una contraddizione?
Abbiamo trovato una coppia di soluzioni della quadratica $ (\frac{Q^2-2}{P},P) $ con somma minore $ \frac{Q^2-2}{P}+P<P+Q\rightarrow Q^2-2<PQ $
(quest'ultima è vera in quanto $ P>Q>0 $ per ipotesi)
da travelsga
05 mag 2009, 16:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: n| phi(n)sigma(n) +1 allora omega(n)>2
Risposte: 6
Visite : 987

Allora... Prima di tutto se \displaystyle n=\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}} è la fattorizzazione di n, si ha \displaystyle \phi(n)=n\prod_{i=1}^k{\frac{p_i-1}{p_i}} e \displaystyle \sigma(n)=\prod_{i=1}^k{\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}} , da cui \displaystyle \phi(n)\sigma(n)=\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i-1}(p_i^{a_...
da travelsga
29 apr 2009, 19:35
Forum: Algebra
Argomento: Radici di un polinomio
Risposte: 1
Visite : 791

$ ax^4+4\sqrt {a}x^3+4x^2-1=x^2(\sqrt {a}x+2)^2-1=(\sqrt {a}x^2+2x+1)(\sqrt {a}x^2+2x-1) $, il secondo membro, essendo $ \Delta>0, \forall a\geq 0 $, ha sempre due radici reali distinte, il primo membro impone la condizione $ 4-4\sqrt {a}> 0\rightarrow 1>a>0 $. In conclusione $ 1>a>0 $.
da travelsga
01 apr 2009, 19:55
Forum: Algebra
Argomento: Pons Asinorum
Risposte: 7
Visite : 1756

Non può riconoscere Pinocchio, lo dice espressamente nel testo .
da travelsga
01 apr 2009, 19:43
Forum: Algebra
Argomento: Pons Asinorum
Risposte: 7
Visite : 1756

con "i-esimo passo" intendo il viaggio i-esimo con cui trasporto gli asini.
da travelsga
01 apr 2009, 18:19
Forum: Algebra
Argomento: Pons Asinorum
Risposte: 7
Visite : 1756

Si definisca a_i il numero di asini trasportati nell' i -esimo passo e sia g(i) il guadagno totale quando pinocchio si trova nell' i -esimo gruppo; il guadagno così definito equivale a g(i)=100-a_i-i (infatti Mangiafuoco perderà il carico a_i e le monete investite per il trasporto) . Chiaramente bis...