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Trovare tutte le funzioni f dai reali ai reali tali che $f(x^2+f(y)) = y+f(x)^2$ per ogni coppia di reali x,y. E la soluzione: Pongo x=0, f(0) = k, allora ottengo: $ f(f(y)) = y + k^2 $ Quindi f(f(.)) è bigetiva, da cui segue che f(.) è bigettiva. Sia a t. c. f(a)=0 (esiste ed è unica). Pongo x=y=a...

Qui il nuovo problema:
viewtopic.php?f=13&t=15498

Provare che:
$ F_{2n} = \frac{F_{2n+2}^3 + F_{2n-2}^3}{9} - 2F_{2n}^3 \forall n \geq 2$
Con $ F_n $ n-esimo numero di Fibonacci ($ F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \forall n \in \mathbb{N} $)

Ah, dimenticarsi i quantificatori... la fonte di errori n.1 nelle funzionali. E già che ci siamo citiamo anche la fonte di punti persi n.1, che è dimenticarsi la verifica. :roll: In effetti si vedeva che non era una dimostrazione fatta "ad hoc" e avrei dovuto perderci più tempo a renderla ben fatta...

Posso applicare Cauchy per la monotnia che mi da f(x) = x nei reali positivi. Per lo 0 già lo so. Per i negativi mi basta sfruttare f(-x)=-f(x) Non vorrei dire castronate ma mi pare che ti basti anche solo cauchy (che tra parentesi ti dà f(x)=ax, dovresti sostituire per esserne certo): a quanto ric...

Pongo x=0, f(0) = k, allora ottengo: $ f(f(y)) = y + k^2 $ Quindi f(f(.)) è bigetiva, da cui segue che f(.) è bigettiva. Sia a t. c. f(a)=0 (esiste ed è unica). Pongo x=y=a ottenendo: $ f(a^2)=a $ $ f(f(a^2)) = f(a) $ Ma f(a) = 0 per ipotesi e $ f(f(a^2)) = a^2 + k^2 $ quindi $ a^2 + k^2 = 0 $ che m...

Ti sei dimenticato di dire che $ x_1 + ... + x_n = 1 $.

Metodo standard (penso in questi casi) Si pone quell'espressione uguale a x. Allora è ovvio che: \sqrt[3]{1 + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}} + \sqrt[3]{1 - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}-x = 0 Rifacendomi all'identità $ (a+b+c)(a^2 + b^2 +c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc $, ho che se a+b...

Kopernik ha scritto:Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che, se $ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca $, allora il triangolo è equilatero.

Porto tutto al LHS e moltiplico per a+b+c
$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 $
$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} = abc $ quindi per CM-GM ho a=b=c

In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono una il doppio dell'altra; quanto vale il rapporto fra i cateti? (2) Generalizzate, detto k il rapporto fra le proiezioni. Sia C il vertice in qui c'è l'angolo retto e Hc il piede dell'altezza uscente da C. Per le similitudini ...

Premesso che la tua soluzione e quella di Sonner non possono essere entrambe vere, utilizzando la sua dimostrazione trovo una quaterna che soddisfa le condizioni: (972,971,34,33) infatti 972+971+34+33=2010 e anche 944784-942841+1156-1089=2010 In questo caso abbiamo che $c+b=1005\equiv 0 \pmod{5}$ e...

CASO 1: $ c+b \equiv 0 \pmod{p} $ Ho anche $ a+d \equiv 0 \pmod{p} $. Dato che i primi che dividono 2010 (a parte il 2) sono 3,5,67 e tutti con esponente 1, ho: $ c = 1005m - b $ e $ d = 1005n - a $ con m,n naturali. Sostituendo nella prima equazione ottengo che m+n = 2, quindi m=n=1 (nessuno dei 2...

Dalla prima equazione segue che $ a \equiv -(b+c+d) \pmod{p} $ con p primo che divide 2010. Sostituendo nella seconda equazione ottengo: $ b^2 + c^2 + d^2 + 2bc + 2cd + 2bd - b^2 + c^2 - d^2 \equiv 0 \pmod{p} $ $ 2c^2 + 2(b+d)c + 2bd \equiv 0 \pmod{p} $ (in questo passaggio dato che semplifico per 2...

Spero di non aver preso una cantonata pazzesca ma mi sembra di avere una soluzione in sintetica PASSO 1 Se le proprietà descritte valgono per un triangolo ABC di angoli $ \alpha = 3\gamma ; \beta = 180° - 4\gamma ; \gamma $ allora vale anche per un triangolo A'B'C' di angoli $ \alpha ' = 135° - 3\ga...

Auguri a tutti !!! Sperando che il 2011 sia un anno migliore...