La ricerca ha trovato 73 risultati

da Nemo
02 mag 2015, 21:03
Forum: Geometria
Argomento: Triangolino Simpatico
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Re: Triangolino Simpatico

Se vuoi $DCE \sim DCB$ perché hanno due angoli congruenti. Quindi $\overline{DE} : \overline{CD} = \overline{CD} : \overline{DB} \Rightarrow \overline{CD}^2= 9 \cdot 17 \Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{\overline{CD} ^2-\overline{AD}^2}=\sqrt{9 \cdot 17 - 9} =12$ $\Rightarrow Area_{CDE}=\frac{1}{2} \ ...
da Nemo
02 mag 2015, 20:47
Forum: Geometria
Argomento: Triangolino Simpatico
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Re: Triangolino Simpatico

Puoi risolverlo con una semplice similitudine :wink:
da Nemo
26 apr 2015, 12:29
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale con due variabili
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Re: Funzionale con due variabili

@nuoveolimpiadi1999. Non sono sicuro... :P Aspetta che qualcuno più esperto controlli! :wink:
da Nemo
26 apr 2015, 12:27
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale con due variabili
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Re: Funzionale con due variabili

Ci provo... L'equazione data è: $$ (x − 2)f(y) + f(y + 2f(x)) = f(x + yf(x)) \quad \forall x,y \in \mathbb{R} \qquad \qquad (1) $$ Ponendo $y=0$ si ottiene: $$f(2f(x))=f(x)-(x-2)f(0) \qquad \qquad (2)$$ Ponendo $x=0$ nella $(1)$ e riscrivendo poi in $x$ si ottiene: $$f(x+2f(0))=2f(x)+f(f(0)x) \qquad...
da Nemo
24 apr 2015, 19:15
Forum: Algebra
Argomento: Una disuguaglianza più facile del previsto
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Re: Una disuguaglianza più facile del previsto

Si nota immediatamente che, per CS, $3 \left(a^2+b^2+c^2\right) \geq (a+b+c)^2$ e dunque, sviluppando l'espressione, $a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$. Dimostrando che $ab+ac+bc \geq \sqrt{3}abc$, si dimostra quindi la tesi. Riscrivendo (solo per migliorarne l'estetica) $A=\frac{1}{a}$, $B=\frac{1}{b}$ e ...
da Nemo
23 apr 2015, 20:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$
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Re: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$

xXStephXx ha scritto:In effetti forse per scrupolo si può prendere $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$, così pure se non dovesse esserlo...
Come dimostri che $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ è irrazionale?

Mi pare che esista un teorema che dica che ${2}^{\sqrt{2}}$ e $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ sono trascendenti...
da Nemo
23 apr 2015, 19:00
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$
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Re: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$

come si calcola $x^y$ se y è irrazionale? Puoi ragionare in questo modo: consideri due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ con $a_n$ e $b_n$ razionali, la prima limitata superiormente da $y$ e crescente, la seconda limitata inferiormente da $y$ e decrescente (cioè due successioni che approssimano raz...
da Nemo
23 apr 2015, 15:19
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$
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Re: $x,y \notin \mathbf{Q}$ e $x^y \in \mathbf{Q}$

$\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$?
da Nemo
17 giu 2014, 16:57
Forum: Geometria
Argomento: 73. Problema di minimo dal sapore ungherese
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Re: 73. Problema di minimo dal sapore ungherese

In effetti pensavo al caso generale... :mrgreen: E proprio per il caso generale (con $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ reali positivi) avevo pensato a queste condizioni (non so quanto possano essere corrette, però :roll: ). $\:\scriptsize \clubsuit$ Se $ \displaystyle \frac{\beta^2+\gamma^2-\alpha^2}{\bet...
da Nemo
16 giu 2014, 22:26
Forum: Geometria
Argomento: 73. Problema di minimo dal sapore ungherese
Risposte: 21
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Re: 73. Problema di minimo dal sapore ungherese

Francesco Sala ha scritto: Allora si può prendere un punto $ Q $ interno al triangolo tale che questo veda i lati del triangolo sotto angoli supplementari a quelli di $ \mathcal{T} $
Non mi pare che questo valga per qualsiasi $\mathcal{T}$ e $ABC$; o sbaglio?? :?:
da Nemo
13 giu 2014, 17:05
Forum: Algebra
Argomento: $(x^3+y^3+z^3)^2+3(xyz)^2$
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$(x^3+y^3+z^3)^2+3(xyz)^2$

Siano $x$, $y$, e $z$ dei numeri reali. Dimostrare che:
$$(x^3+y^3+z^3)^2+3(xyz)^2 \ge 4(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)$$
Determinare i casi di uguaglianza.
da Nemo
13 giu 2014, 16:04
Forum: Geometria
Argomento: Bisettrici se e solo se messicane
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Re: Bisettrici se e solo se messicane

In effetti, per qualsiasi quadrilatero $ABCD$ inscritto in una circonferenza di centro $O$ vale che "la bisettrice di $A \hat DC$ passa per $O$ se e solo se la bisettrice di $A \hat BC$ passa per $D$". Se può interessare, questo è il testo del problema messicano (spero di aver tradotto correttamente...
da Nemo
11 giu 2014, 16:33
Forum: Algebra
Argomento: Piccole somme
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Re: Piccole somme

Per il punto in cui $n=3$ avevo pensato a qualcosa di un po' più elementare... :D Ecco qui (sperando che sia corretto...). Sia $ a=(x+z)^2 y $, tale che $x,y,z$ abbiano gli stessi valori di $x_1 , x_2 , x_3$ (in un dato ordine). Si dimostra che $ \displaystyle a \le \frac {4}{27} $, infatti $ \displ...
da Nemo
22 apr 2014, 17:23
Forum: Algebra
Argomento: Piccole somme
Risposte: 3
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Piccole somme

Siano $x_1,x_2,...,x_n$ $ (n \ge 3) $ dei numeri positivi tali che $ x_1+x_2+ \cdots +x_n =1$. Si dimostri che $$ x_1^2x_2+x_2^2x_3+ \cdots + x_n^2x_1 \le \cfrac{4}{27} $$
da Nemo
22 apr 2014, 17:13
Forum: Geometria
Argomento: Sempre tangente
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Sempre tangente

$AD$ è una bisettrice del triangolo $ABC$. Sia $t$ una retta tangente ai circocerchi dei triangoli $ADB$ e $ADC$ rispettivamente in $M$ e $N$. Si dimostri che $t$ è tangente anche alla circonferenza che passa per i punti medi di $BD$, $CD$ e $MN$.