La ricerca ha trovato 73 risultati

da Nemo
11 lug 2015, 11:21
Forum: Geometria
Argomento: IMO 2015 - 4
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IMO 2015 - 4

Sia $\Omega$ la circonferenza di centro $O$ circoscritta al triangolo $ABC$. Una circonferenza $\Gamma$ di centro $A$ interseca il segmento $BC$ nei punti $D$ ed $E$, in modo che $B$, $D$, $E$, $C$ siano distinti e in quest’ordine su $BC$. Siano $F$ e $G$ i punti di intersezione tra $\Gamma$ e $\Ome...
da Nemo
10 lug 2015, 14:52
Forum: Geometria
Argomento: IMO 2015 - 3
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IMO 2015 - 3

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con $AB>AC$. Siano $\Gamma$ la sua circonferenza circoscritta, $H$ il suo ortocentro, $F$ il piede dell’altezza relativa a $BC$, $M$ il punto medio di $BC$. Siano $Q$ e $K$ due punti su $ \Gamma $ tali che $\widehat{HQA} =\widehat{HKQ}=90°$. Si assuma che i punti $A...
da Nemo
10 lug 2015, 14:50
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: IMO 2015 - 2
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IMO 2015 - 2

Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ di interi positivi per i quali $\ \ a\,b-c,\ \ b\,c-a,\ \ c\,a-b\ \ $ sono potenze di $2$.
da Nemo
10 lug 2015, 14:50
Forum: Geometria
Argomento: IMO 2015 - 1
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IMO 2015 - 1

Sperando di fare cosa gradita (e anche di ridimensionare il probabile esodo verso AoPS :P), ripropongo qui [una traduzione dei testi de] i problemi che i Sei Virtuosi hanno affrontato oggi. Ecco il primo. Diciamo che un insieme finito $\mathcal{S}$ di punti nel piano è equilibrato se, per due qualsi...
da Nemo
06 lug 2015, 11:53
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: IMO 2015
Risposte: 67
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Re: IMO 2015

Otterrete i più grandi risultati, guidati dalla virtù e accompagnati dalla fortuna! :wink:
Omnia summa consequemini virtute duce, comite fortuna (travisando un po' le parole della buonanima di Cicero)
da Nemo
02 lug 2015, 21:58
Forum: Discorsi da birreria
Argomento: Maturità 2015
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Re: Maturità 2015

Forse sono un po' in ritardo, ma mi sarebbe dispiaciuto lasciare il topic troncato con così tanti punti interrogativi... Per quanto riguarda la seconda prova posso dire che la suprema bellezza delle tracce del ministero è stata ancora più accentuata con il problema contestualizzato :lol: . Il primo ...
da Nemo
02 lug 2015, 21:23
Forum: Algebra
Argomento: Polinomi Cesenatico vecchio
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Re: Polinomi Cesenatico vecchio

Spero che la mia risposta possa esserti utile (e spero anche che sia corretta... :P ) In primo luogo, i polinomi costanti $P(x)=a_0$ che risolvono l'equazione data sono $2$, ovvero $P(x)=-1$ e $P(x)=2$, infatti $a_0^2 - 2 = a_0 \Rightarrow a_0=-1 \lor a_0=2$. Consideriamo ora i polinomi a coefficien...
da Nemo
02 lug 2015, 20:05
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Integrali in successione
Risposte: 3
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Integrali in successione

Mi sembra un problemetto carino. Purtroppo, per risolvero bisogna saper integrare (in effetti bastano sostituzione e parti)... Il testo è questo: Calcolare \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2n-2}}{(x^{4} - x^{2} +1)^{n}} \ dx\), con \(n\) intero positivo. Un suggerimento è (forse) nel titol...
da Nemo
24 giu 2015, 16:02
Forum: Matematica non elementare
Argomento: Il secondo quesito della maturità 2015
Risposte: 10
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Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Siete riusciti a individuare questo grado minimo?? :mrgreen: Io ho trovato qualche polinomio di grado $13$ con esattamente quegli zeri, quelle aree e quei massimi e minimi in $[-3,3]$. Uno potrebbe essere questo, se il calcolatore non ha approssimato... (lo lascio nascosto perché è esteso e inutile)...
da Nemo
17 giu 2015, 21:44
Forum: Discorsi da birreria
Argomento: Maturità 2015
Risposte: 11
Visite : 2942

Re: Maturità 2015

Io ho fatto il saggio breve sulla letteratura, parlando di mondi immaginari, con tono mistico e surreale, all'incirca come i problemi di "Matematica" di domani... :mrgreen: immagino che probabilmente qua in mezzo domani io sia l'unico domani a dover fare(purtroppo) la versione... Ti auguro un buon C...
da Nemo
17 giu 2015, 18:12
Forum: Discorsi da birreria
Argomento: Maturità 2015
Risposte: 11
Visite : 2942

Maturità 2015

Cari quasi-ex-liceali, immagino che sarete tutti preoccupati per la prova di domani :lol: Come stanno andando gli esami? La prova di stamattina non era pessima... :P Auguri per terza prova e orale! E, dato che in questi giorni sento solo frasi come "Buona fortuna" e "In bocca al lupo", auguro a tutt...
da Nemo
12 giu 2015, 14:13
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Una successione di quasi-quadrati
Risposte: 1
Visite : 1197

Re: Una successione di quasi-quadrati

Visto che nessuno pubblica una soluzione, ci provo io... Sia $\{a_n\}$ un successione così definita $\begin{cases} a_1=2 \\ a_2=3 \\ a_3=3 \\ a_{n+1}=a_{n} \, a_{n-1}-a_{n-2} \end{cases}$ Dimostro per induzione la seguente uguaglianza $$a_{n}^2 + a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 = a_{n} \, a_{n-1} \, a_{n-2} +...
da Nemo
03 mag 2015, 18:24
Forum: Algebra
Argomento: BMO 2015.5
Risposte: 5
Visite : 1720

Re: BMO 2015.5

Se si vogliono evitare le derivate... Sapendo che $ab+ac+bc \le a^2+b^2+c^2$, allora $\displaystyle q=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}} \ge 1$. Perciò il problema si riduce a dimostrare che $\displaystyle q^2+2 +\frac{2}{q} \ge 5$. Ma $\displaystyle q^2-3+\frac{2}{q}=\frac{q^3-3q+2}{q}=\frac{(q-1)...
da Nemo
02 mag 2015, 22:47
Forum: Algebra
Argomento: Potenza Millesima
Risposte: 6
Visite : 2622

Re: Potenza Millesima

santilli ha scritto: [...] un metodo di risoluzione carino per questo problema :)
:roll: Scusate, la mia è una soluzione alquanto brutta...
da Nemo
02 mag 2015, 22:41
Forum: Algebra
Argomento: Potenza Millesima
Risposte: 6
Visite : 2622

Re: Potenza Millesima

$(x^7+x^3+1)^{1000}$ è un polinomio di grado $7000$, perciò può essere formato al massimo da $7001$ termini non simili. Ma $(x^7+x^3+1)^{1000}=\underbrace{(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1)(x^7+x^3+1) \cdots (x^7+x^3+1)}_{1000}$ e quindi per qualsiasi $c=7a+3b$, con $a,b$ non negativi e $a+b \le 1000...