OliForum Matematico

Tanto poi non capite la risposta.

In bocca al lupo a tutti!

Quando hai dubbi di questo tipo, una buona idea è risolvere nello stesso modo un caso con numeri più piccoli (per esempio, n=3 o n=6 invece di n=99), in cui puoi elencare tutte le possibilità a mano per controllare.

Complimenti a tutte!
Ma come si sono piazzati invece i paesi extraeuropei come il Belarus?

Apro il tradizionale thread pre-gara per fare un grosso in bocca al lupo alle nostre ragazze che concorreranno alle EGMO: Giorgia Benassi Maria Bevilacqua Linda Friso Maria Chiara Ricciuti Sabrina Botticchio e ai leader che le difenderanno, Alice Cortinovis e Alberto Alfarano. La manifestazione iniz...

Hai ragione che non è semplice da scrivere. Ora abbiamo tirato fuori più o meno tutte le idee che servivano, ma ora c'è da metterle insieme. Proviamo ad aggiungere un segmento; magari si riesce a dire qualcosa per induzione.

OK, mi sembra una dimostrazione completa; se vuoi puoi scriverla così. Step 1: riesco a raggiungere un punto a distanza $d$ dall'origine per ogni $|d_2-d_3| \leq d \leq d_2+d_3$: dimostrazione: basta prendere il triangolo di lati $d,d_2,d_3$ (che esiste perché soddisfa le disuguaglianze triangolari)...

Esatto. Riesci a dimostrarlo?

Hmm, OK, allora ti conviene prima vedere quello. È lo stesso genere di idee, ma in un formato leggermente più semplice. Di solito c'è nei vari libri / dispense / appunti / stage che parlano di combinatoria.

Hai già visto il problema di trovare in quanti modi si può scrivere un certo $n$ come somma di $k$ numeri interi non-negativi (ordinati)?

Qual è la tua soluzione per le strettamente crescenti, così partiamo da quella?

BTW, ho pubblicato il mio "scheletro" anche come template su Overleaf, un sito per poter scrivere Latex online senza installare nulla: https://www.overleaf.com/latex/templates/stagetex-olimpiadi-della-matematica/qdcydgkpwkcb --- se ti fai un account su quel sito (per esempio cliccando su https://www...

Tutti? Per esempio, con una stecca lunga 2 e una lunga 1 come fai ad arrivare a un punto a distanza 0.5 dall'origine?

Beh, e in realtà non è neanche neppure del tutto vero, bisogna pensarci su ancora un attimo. Ma prova a semplificare il problema il più possibile. Quali punti del piano si riesce a raggiungere con una stecca lunga $d_2$ e una stecca lunga $d_3$?

OK. Mi piace come l'hai scritto perché è un argomento che si "rovescia" facilmente. Se questa fosse l'unica condizione, allora ci rimane soltanto da provare che (supponendo WLOG $i=1$) si riesce a "raggiungere" tutti i punti in un cerchio di raggio $R=\sum_{j=2}^n d_j$ con una spezzata con lunghezze...

Pensa di nuovo a cosa succede con la disuguaglianza triangolare. Se per esempio $d_1$ fosse molto più grande degli altri tre?