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Come avevi notato prima, $d(\mathcal{S})$ puo' non esistere. Puoi invece concludere che la densità superiore asintotica $$ d^\star(\mathcal{S})=\limsup_{n\to \infty}\frac{|\mathcal{S}\cap [1,n]|}{n} \le \frac{1}{2}. $$ Nota che è ben possibile che se un insieme $X$ ha densità superiore asintotica po...

Mi pare tutto corretto, apparte l'ultima frase: $\mu(p)=-1$ per ogni primo $p$

Eh, ops :/ In effetti, si deve utilizzare una versione piu' forte del teorema di Dirichlet, che, hai ragione, è ancora aperta: congettura di Dickson..

ps. Grazie mille Davide!

Sia $\mu$ la funzione di Moebius, cioè la funzione fa che $(-1)^k$ agli interi positivi liberi da quadrati della forma $p_1\cdots p_k$, e $0$ agli altri ($\ge 2$). (a) E' vero che esistono infiniti $n$ tali che $\mu(n)=\mu(n+1)=\mu(n+2)=\mu(n+3)$? (b) E' vero che esistono infiniti $n$ tali che $\mu(...

Mostrare che ogni intero pari maggiore di 10 puo' essere scritto come somma di esattamente 6 primi.

Edit: Nella proof si puo' utilizzare un risultato di Tao che dice che ogni intero $\ge 2$ puo' essere espresso come somma di al massimo 5 primi

Originale Molto bene

Trovare, se esiste, una funzione $f:\Bbb N_+\to\cal P(\Bbb N_+)$ tale che per ogni a,b interi positivi si ha

* $f(a)\cap f(b)=f(\gcd(a,b))$,
* $f(a)\cup f(b)=f(\operatorname{lcm}(a,b))$,
* $a\in f(a)$,
* $f$ iniettiva


Ps. Qui $\cal P(\Bbb N_+)$ rappresenta le parti di $\Bbb N_+$

Probabilmente a qualcuno puo' interessare questo

Perchè non lo stampi?

Bene, vai col prossimo

Sia $a$ intero tale che $1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$. Calcolare il resto di $a$ modulo $13$.

In altre parole, $(-1/7)=-1$ Bon, chi vuole vada col prossimo

Visto che nessuno si fa vivo:

Risolvere negli interi $x^2+x^4=7^zy^2$.

(Austria 2011)

Scritto quasi come flusso di coscienza, ma le idee ci sono tutte

Ps. Non direi, giorno 6 problema 2!

Non ricordo se è già passato da queste parti (forse è passata una volta una versione piu' generale, ma di quella sono abbastanza sicuro di non aver visto soluzioni..) In ogni caso, questa è presa dal TST cinese anno 2006: Siano $m,n$ interi positivi fissati. Mostrare che esiste un intero positivo $k...