La ricerca ha trovato 51 risultati

da Stoppa2006
30 mar 2007, 16:05
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Numeri perfetti pari
Risposte: 4
Visite : 2931

Numeri perfetti pari

Un numero di primo di Mersenne è un numero primo della forma:
$ M_p=2^p-1 $
Un numero si dice perfetto se:
$ \sigma(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d=2n $
Dimostrare che un numero pari è perfetto se e solo se $ n=2^{p-1}M_p $ con $ M_p $ primo di Mersenne.
da Stoppa2006
30 mar 2007, 15:40
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: gcd agli esponenti
Risposte: 13
Visite : 5179

Hai ragione, io ho considerato i polinomi e non gli interi. Poi vero, non ho usato proprio il teorema fondamentale dell'algebra, ma il fatto che in \mathbb{C} un polinomio di grado n non ha più di n radici contate con relativa molteplicità (principio di identità dei polinomi + Ruffini), e questo non...
da Stoppa2006
29 mar 2007, 22:57
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: gcd agli esponenti
Risposte: 13
Visite : 5179

Non sapendo se fosse olimpico non ho utilizzato il criterio della derivata, per dimostrere l'osservazione ho trovato esplicitamente le radici e ho applicato il teorema fondamntale dell'algebra...
da Stoppa2006
29 mar 2007, 02:15
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Somme di 3 quadrati
Risposte: 5
Visite : 4192

Somme di 3 quadrati

Dimostrare che i numeri della forma $ 4^{\alpha}(8k+7) $ non sono esprimibili come somme di tre quadrati.

Nota: in realtà sono gli unici che non possono essere espressi, ma è difficile dimostrarlo, e servono tecniche piuttosto avanzate...
da Stoppa2006
28 mar 2007, 23:25
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: gcd agli esponenti
Risposte: 13
Visite : 5179

Ho trovato solo questa dimostrazione un pò "standard", ma dato che nessuno risponde la posto lo stesso: Per semplicità di notazione pongo p_i(x)=x^{m_i}-1 allora \forall i=1,2 \ : (m_1,m_2)|m_i\Rightarrow \exists m_i'\in\mathbb{N}:\ x^{m_i}-1= x^{(m_1,m_2)m_i'}-1= \left( x^{(m_1,m_2)}-1\right)\displ...
da Stoppa2006
28 mar 2007, 21:52
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Stime deboli sulla pi(n)
Risposte: 4
Visite : 2800

Stime deboli sulla pi(n)

Sia \pi (n) la funzine enumeratrice dei primi, che associa ad n il numero di primi minori o uguali ad n . Dimostrare queste due stime (molto molto larghe...) per ogni n\ge 2 : 1) \pi (n)\ge \log\log n 2) \pi (n)\ge \displaystyle\frac{\log n}{\log 4} Chiaramente non vale usare nessun teorema di teori...
da Stoppa2006
28 mar 2007, 21:00
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Una sommatoria
Risposte: 2
Visite : 2600

da Stoppa2006
28 mar 2007, 20:48
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Reciproci dei primi...
Risposte: 6
Visite : 3849

Si... una volta dimostrato che la somma non è limitata segue appunto che i primi sono infiniti, proprio per quello che dici tu, però il ragionamento che serve a dimostrarlo non fa uso dell'infinità dei primi (o almeno il proof che conosco io non lo usa...), altrimenti non potresti dedurlo...
da Stoppa2006
26 mar 2007, 21:23
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Reciproci dei primi...
Risposte: 6
Visite : 3849

Reciproci dei primi...

Sia $ \{p_i\}_{i>0} $ la successione crescente dei primi, dimostrare che per ogni $ k\in\mathbb{N} $ esiste un $ n $ per cui:
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{p_i}>k $

Questo è un problemino carino da cui si deduce che i primi sono infiniti (e che sono pure tantini... :wink: )
da Stoppa2006
26 mar 2007, 21:09
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

Peccato che la soluzione "svelta" (anche se l'altra non era di 3 righe era pur sempre un numero di righe congruo a zero modulo 3 :D) mi sia venuta dopo... -Hai ragione non viene bigettiva, è quindi incopleto perchè quel ragionamento funziona solo se (n,p-1)=1 . -Sul Claim hai perfettamente ragione, ...
da Stoppa2006
26 mar 2007, 03:28
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

Il punto (c) si poteva fare in poche righe, invece che in tre interminabli interventi... Con la notazione di prima basta osservare che A=\{j_n|n=1,...,p-1\} allora se x\neq 1 (quindi p\neq 2 ): \displaystyle\sum_{f\in A}f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}x^k=\frac{x^p-1}{x-1}-1=0 Dove l'ultima uguagl...
da Stoppa2006
26 mar 2007, 00:22
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

iii) n\nmid p-1 : Consideriamo la solita mappa j_n:\mathbb{Z}_p^*\rightarrow\mathbb{Z}_p^* e notiamo che questa mappa è una bigezione, inatti è surgettiva poichè manda generatori in generatori. Infatti sia g un generatore di \mathbb{Z}_p^* allora anche j_n(g)=g^n genera \mathbb{Z}_p^* poichè (n,p-1)...
da Stoppa2006
26 mar 2007, 00:10
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

Supporremo sempre p\neq 2 . ii) n|p-1 : Consideriamo la mappa j_n:\mathbb{Z}_p^*\rightarrow\mathbb{Z}_p^* che manda x in x^n . Riscrivo la somma come: \displaystyle\sum_{x\in\mathbb{Z}_p^*}x^n=\displaystyle\sum_{y\in j_n(\mathbb{Z}_p^*)}\displaystyle\sum_{x\in j_n^{-1}(y)}x Si può dimostrare che per...
da Stoppa2006
25 mar 2007, 23:43
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

Effettivamente hai ragione sono stato MOLTO contorto :oops: , però volevo sottolineare il fatto che non sempre una funzione moltiplicativa può mandare un generatore in un qualunque elemento dell' "insieme moltiplicativo" di arrivo. c) Cerchiamo di riscrivere quella sommatoria. Sia g il solito genera...
da Stoppa2006
25 mar 2007, 22:06
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Funzioni moltiplicative modulo p
Risposte: 12
Visite : 5728

b) Affinchè f sia bigettiva è sufficiente che sia surgettiva (manda un insieme finito in se stesso). Sia g un generatore di \mathbb{Z}_p^* allora f(\mathbb{Z}_p^*)=\{f^n(g)|n\in\mathbb{Z}\} quindi affinchè la funzione sia surgettiva si deve avere che f(g) generi \mathbb{Z}_p^* . Allora ci sono \phi(...