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da piever
28 feb 2011, 11:51
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Mi preme molto di più invece postare l'ultimo e più sostanzioso rilancio... 1) Visto che ogni polinomio coefficienti interi si scrive come \displaystyle\sum_{k=0}^d b_k k!\binom{x}{k} , verificare che, una volta scrittolo in questa forma, tale polinomio è divisibile per n se e solo se, per ogni k, n...
da piever
28 feb 2011, 11:38
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Mah, un po' di tempo è passato, metto uno sketch di soluzione... Prima di tutto è comodo notare che ogni polinomio a coefficienti razionali è della forma \displaystyle\sum_{k=0}^d a_k\binom{x}{k} e si vede abbastanza facilmente per induzione sul grado (prima sistemo il termine di grado più alto, e p...
da piever
17 feb 2011, 17:07
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Ora il primo rilancio: Preso k\in\mathbb{N} definiamo \displaystyle\binom{x}{k} = \frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1} (x-i) Diciamo anche \displaystyle\binom{x}{0}=1 per convenzione. Sia p(x)\in \mathbb{Q}[x] tale che, per ogni m intero, p(m) è intero. Allora p(x) si scrive in modo unico come \displaystyl...
da piever
17 feb 2011, 16:57
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Mah, ormai è già da parecchi giorno che il problema è sul forum e non sembra aver riscosso il successo di pubblico che mi aspettavo :cry: Scrivo uno sketch di soluzione, nel caso ci fosse qualcuno che si è cimentato e vuole sapere come si fa: Supponiamo che esista un certo q(x) di grado d sempre div...
da piever
05 feb 2011, 10:51
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Visto che è passato un po' di tempo da quando ho messo il problema e ancora nesssuno ha scritto soluzioni, vi lascio un piccolo hint:
Testo nascosto:
se da $ q(x) $ è sempre multiplo di n, cosa si può dire del polinomio $ r(x)=q(x+1)-q(x) $?
da piever
03 feb 2011, 01:27
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Primalità e potenze di 5
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Re: Primalità e potenze di 5

Un'interessante generalizzazione per i più esperti: se 1<q\equiv 1 \pmod 4 è un numero naturale libero da quadrati, allora \Phi _q (q^n) è composto per ogni n \in \mathbb N ^\ast . Nascondo la mia domanda per non spoilerare troppo, per quanto... Diamine, non vorrai usare: \displaystyle q=\left(\sum...
da piever
01 feb 2011, 21:10
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Re: Polinomi che danno sempre valori interi...

Ho editato il primo messaggio: voglio una condizione necessaria e sufficiente sul grado del polinomio...

@paga92aren: si riesce in effetti a fare di meglio. Prova con p=2 a vedere se ne trovi di più piccoli ad esempio...
da piever
31 gen 2011, 17:48
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomi che danno sempre valori interi...
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Polinomi che danno sempre valori interi...

Visto questo problema pensavo di proporvi il seguente, che spero necessiti di meno formule tex per essere risolto: 1) Sia p un numero primo. Qual è il minimo d intero positivo per cui esisto un polinomio q(x) monico a coefficienti interi di grado d tale che: p^{p+1}|q(m) per ogni m intero? 2) Più in...
da piever
19 gen 2011, 03:24
Forum: Combinatoria
Argomento: match paradossali in campionato di calcio
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Re: match paradossali in campionato di calcio

Rispondendo ad abc, spero di essere ancora sufficientemente sveglio per non dire fesserie: In sostanza ordino le squadre e poi a ogni squadra associo il numero di partite vinte contro squadre più deboli meno il numero di partite perse contro squadre più forti, (chiamiamo tale numero c_k ). Il numero...
da piever
17 gen 2011, 17:40
Forum: Combinatoria
Argomento: match paradossali in campionato di calcio
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Re: match paradossali in campionato di calcio

Uhm, son felice che la soluzione di dario2994 sia equivalente a una mille volte più breve così non devo sorbirmi i contazzi pazzi :P Quella di abc comunque è carina e un pochino più breve della mia che comunque mi dava l'impressione di sprecare tantissimo... Mah, un problema strano... Complimenti a ...
da piever
14 gen 2011, 16:55
Forum: Combinatoria
Argomento: match paradossali in campionato di calcio
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Re: match paradossali in campionato di calcio

E bravo dario2994... Finalmente mi si è risolto un dubbio che avevo dal 2008 :D A parte tutto, la soluzione mi sembra corretta, interessante e bella: complimenti! :? Ironico??? :? La soluzione è segata :roll: Oddio, mi sono accorto adesso che anziché migliorare 75% con 50%, lo peggiori con un riden...
da piever
14 gen 2011, 00:54
Forum: Combinatoria
Argomento: match paradossali in campionato di calcio
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Re: match paradossali in campionato di calcio

E bravo dario2994... Finalmente mi si è risolto un dubbio che avevo dal 2008 :D

A parte tutto, la soluzione mi sembra corretta, interessante e bella: complimenti!
da piever
13 gen 2011, 00:07
Forum: Combinatoria
Argomento: match paradossali in campionato di calcio
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Re: match paradossali in campionato di calcio

Io ho avuto l'impressione che nel tuo ragionamento non tieni conto del seguente fatto: quando si elimina la squadra ultima in classifica e si trascurano i punti che le altre squadre hanno totalizzato battendola, questo fatto altera la classifica. Mi sono rimesso a pensare al problema e sono soltanto...
da piever
06 gen 2011, 15:04
Forum: Combinatoria
Argomento: il teorema di Van der Waerden
Risposte: 0
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il teorema di Van der Waerden

Visto che in questo thread si parlava di "cannoni", riferendosi a questo risultato, volevo proporvi di cercare di dimostrarlo. Difatti è uno dei pochi "cannoni olimpici" la cui dimostrazione è del tutto elementare: certamente non facile ma dà grande soddisfazione. Th. Siano n e c interi positivi. Di...
da piever
04 gen 2011, 15:41
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Polinomio ripetitivo
Risposte: 5
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Re: Polinomio ripetitivo

Salve jordan, da quanto tempo anche per me... Non pensavo che ti avrei ancora trovato a imperversare su questo forum :) La soluzione chiaramente è giusta, ma c'è una parte che merita di essere detta in modo meno frettoloso, perché per chi è alle prime armi potrebbe essere non ovvia e io la trovo abb...