La ricerca ha trovato 87 risultati

da Francesco Sala
27 nov 2014, 18:03
Forum: Geometria
Argomento: Coassialità romene e concorrenze
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Coassialità romene e concorrenze

In un triangolo ABC siano D,E,F rispettivamente su BC,CA,AB i punti di tangenza degli excerchi (ciascuno con il lato opposto al rispettivo vertice). Siano O,I i centri del circocerchio e dell'incerchio del triangolo. a) Dimostrare che i cerchi \odot(AID),\odot(BIE),\odot(CIF) concorrono in un altro ...
da Francesco Sala
26 nov 2014, 18:51
Forum: Geometria
Argomento: Tangenze, simmetrie e concorrenze
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Tangenze, simmetrie e concorrenze

Sia ABC un triangolo inscritto in un cerchio \Gamma ; \Omega è un cerchio tangente internamente a \Gamma , e A_1,B_1,C_1 su di esso sono tali che AA_1,BB_1,CC_1 concorono in punto di \Gamma . Consideriamo il triangolo i cui lati sono il simmetrico di B_1C_1 in BC e ciclici. Dimostrare che il circoce...
da Francesco Sala
25 nov 2014, 15:44
Forum: Geometria
Argomento: Retta di Eulero, simmetrie e ciclicità
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Retta di Eulero, simmetrie e ciclicità

In un triangolo ABC , inscritto in una circonferenza \omega di centro O , le altezze AA_0,BB_0,CC_0 concorrono in H . Sia P un punto sulla retta OH e A_1,B_1,C_1 le seconde intersezioni di \omega con AP,BP,CP . Chiamiamo A_2 il simmetrico di A_1 in A_0 , e similmente B_2,C_2 . Dimostrare che i punti...
da Francesco Sala
24 nov 2014, 17:07
Forum: Algebra
Argomento: $f(g(n))=3n,g(f(n))=2n$.
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Re: $f(g(n))=3n,g(f(n))=2n$.

Se non mi sbaglio, queste dovrebbero soddisfare:
Testo nascosto:
Sia $ \displaystyle{n=\sum_{i=0}^r 2^i \alpha_i=\sum_{j=0}^s 3^j \beta_j} $; poniamo $ \displaystyle{f(n)=\sum_{i=0}^r 3^{i+1} \alpha_i} $ e $ \displaystyle{g(n)=\sum_{j=0}^s 2^j \beta_j} $
.
da Francesco Sala
24 nov 2014, 15:55
Forum: Geometria
Argomento: Quando la tripolare contiene il circocentro
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Quando la tripolare contiene il circocentro

Sia dato un triangolo ABC con circocentro O . Chiamiamo X,Y,Z i circocentri dei cerchi \odot(BOC),\odot(COA),\odot(AOB) . a) Dimostrare che le circonferenze \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) concorrono in un punto V . b) Dimostrare che la tripolare di V rispetto ad ABC passa per O . NOTA: Se in un tr...
da Francesco Sala
23 nov 2014, 11:27
Forum: Geometria
Argomento: Bisettrici e tangenze
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Bisettrici e tangenze

Sia dato un triangolo ABC in cui l'incerchio \omega tange i lati BC,CA,AB nei punti D,E,F e ha centro I . I punti B_1,B_2 giacciono rispettivamente sul segmento BI e sulla sua estensione oltre I , e appartengono a \omega ; similmente definiamo C_1,C_2 rispetto al vertice C . Il cerchio \omega_B tang...
da Francesco Sala
22 nov 2014, 16:21
Forum: Geometria
Argomento: Incerchi mistilinei e concorrenze
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Incerchi mistilinei e concorrenze

Sia dato un triangolo ABC inscritto in una circonferenza \Gamma di centro O ; chiamiamo \omega_A il cerchio tangente ai lati AB,AC e tangente internamente al cerchio \Gamma nel punto A_1 ; similmente definiamo le circonferenze \omega_B,\omega_C e i punti B_1,C_1 . a) Dimostrare che le rette AA_1,BB_...
da Francesco Sala
21 nov 2014, 15:15
Forum: Geometria
Argomento: Tangenze e coassialità
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Tangenze e coassialità

Sia dato un cerchio $ \Gamma $ e, nello stesso piano, tre punti $ A,B,C $. Consideriamo i due cerchi passanti per $ B,C $ e tangenti a $ \Gamma $ in $ A_1,A_2 $; similmente, definiamo i punti $ B_1,B_2 $ e $ C_1,C_2 $.
Dimostrare che i cerchi $ \odot(AA_1A_2),\odot(BB_1B_2),\odot(CC_1C_2) $ sono coassiali.
da Francesco Sala
20 nov 2014, 16:26
Forum: Geometria
Argomento: Qualche cerchio e molte tangenze
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Qualche cerchio e molte tangenze

Siano dati due cerchi \gamma_1,\gamma_2 che si intersecano nei punti A,B . Una retta interseca \gamma_1 in P,Q e \gamma_2 in R,S . Siano t_P,t_Q le rette tangenti al primo cerchio in P,Q e t_R,t_S le tangenti al secondo in R,S . Siano \omega_1,\omega_2 i circocerchi dei triangoli che hanno come lati...
da Francesco Sala
19 nov 2014, 15:33
Forum: Geometria
Argomento: Rette di Eulero e riflessioni
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Rette di Eulero e riflessioni

In un triangolo $ ABC $ sia $ P $ un punto interno e $ P_A,P_B,P_C $ i suoi simmetrici rispetto ai lati $ BC,CA,AB $. Dimostrare che se $ AP_A,BP_B,CP_C $ concorrono, allora concorrono anche le rette di Eulero dei triangoli $ BCP,CAP,ABP $.
da Francesco Sala
18 nov 2014, 15:21
Forum: Geometria
Argomento: Rapporti costanti e cerchio di Brocard
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Rapporti costanti e cerchio di Brocard

In un triangolo ABC consideriamo tre punti A_1,B_1,C_1 su BC,CA,AB ; definiamo A_2=CC_1\cap BB_1 e analogamente B_2,C_2 . a) Dimostrare che i cerchi \odot(BCA_2),\odot(CAB_2),\odot(ABC_2) concorrono in un punto M . b) Supponiamo che \displaystyle{\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{AC_1}{BC_1}...
da Francesco Sala
17 nov 2014, 15:58
Forum: Geometria
Argomento: Catena di incerchi
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Catena di incerchi

Dato un triangolo chiamiamo \ell_1,\ell_2,\ell_3 i suoi lati e i vertici rispettivamente opposti A_1,A_2,A_3 . Consideriamo un cerchio \mathcal{C}_1 tangente ai lati \ell_1,\ell_2 nella parte di piano interna al triangolo. A partire da questo costruiamo una serie di cerchi \mathcal{C}_i secondo la s...
da Francesco Sala
16 nov 2014, 14:51
Forum: Geometria
Argomento: Triangoli circumceviani, cerchi e concorrenze
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Triangoli circumceviani, cerchi e concorrenze

Siano dati sei punti A,A_1,B,B_1,C,C_1 su una circonferenza \omega tali che le rette AA_1,BB_1,CC_1 concorrono in un punto P . Il cerchio circoscritto al triangolo formato dalle rette AB,AC,B_1C_1 interseca nuovamente \omega in X , mentre quello circoscritto al triangolo di lati A_1B_1,A_1C_1,BC int...
da Francesco Sala
15 nov 2014, 14:40
Forum: Geometria
Argomento: Luogo del coniugato isogonale
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Luogo del coniugato isogonale

In un triangolo ABC sia O il circocentro e \ell una retta che lo contiene; questa interseca i cerchi \odot(BOC),\odot(AOC),\odot(AOB) nei punti A_1,B_1,C_1 rispettivamente. a) Dimostrare che le rette AA_1,BB_1,CC_1 concorrono in un punto P . b) Determinare il luogo descritto dal coniugato isogonale ...
da Francesco Sala
14 nov 2014, 15:58
Forum: Geometria
Argomento: Piedi delle bisettrici e cerchio dei nove punti
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Piedi delle bisettrici e cerchio dei nove punti

In un triangolo ABC , le bisettrici interne degli angoli incontrano i lati opposti BC,CA,AB rispettivamente in A_1,B_1,C_1 . Il cerchio dei nove punti di A_1B_1C_1 ha centro N . Sia I l'incentro di ABC e J il suo coniugato isogonale rispetto a A_1B_1C_1 . Dimostrare che I,J,N sono allineati.