La ricerca ha trovato 481 risultati

da Gottinger95
28 giu 2014, 22:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Disuguaglianza $\phi$ga
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Visite : 4102

Re: Disuguaglianza $\phi$ga

Ah, bella cavolo! In realtà è sempre double counting, solo che la tua è più combinatorica e la mia è più algebrica! Comunque chiedo venia per il post lungo e apparentemente un po' cannonoso, però in realtà la cosa più complicata che ho usato è il prodotto di eulero, e boh, alla fine mi pare abbastan...
da Gottinger95
28 giu 2014, 17:49
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: an+b coprimo con xyz
Risposte: 7
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Re: an+b coprimo con xyz

E se consideriamo \(x_1= p_1^{\alpha_1}, \ldots, x_k=p_k^{\alpha_k}\), qual'è il più piccolo \(n_k\) tale che almeno uno degli \( an+b\) al variare di \(1 \le n \le n_k\) sia coprimo con \(x_1\cdot \ldots \cdot x_k\) ?
da Gottinger95
28 giu 2014, 13:33
Forum: Algebra
Argomento: Altre radici dell'unità
Risposte: 21
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Re: Altre radici dell'unità

Oddio che cretino, la maturità mi sta rincoglionendo... certo, \( \sqrt{2-2\sqrt{2} }\) è immaginario, quindi il modulo è 1. Tra l'altro ho scritto una serie di cavolate come \(a^2+b^2=\) modulo di \(z\), che non è vero perchè \( |z| = |a+ i (ib) | = a^2-b^2\). Vabè, lo ricontrollerò, scusate le cac...
da Gottinger95
28 giu 2014, 13:01
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Disuguaglianza $\phi$ga
Risposte: 6
Visite : 4102

Re: Disuguaglianza $\phi$ga

Dimostreremo una cosa un po' più debole ma un po' più precisa, quindi manca ancora un pezzo da sporcaccioni per risponderti (c'è un \(n\) sufficientemente grande di mezzo). Fatto. Detto \( \displaystyle S_m = \sum_{k=1}^m \varphi(k) \), vale \[ \lim_{m \to \infty} \frac{S_m}{m^2} = \frac{3}{\pi^2}\]...
da Gottinger95
27 giu 2014, 18:11
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Disuguaglianza $\phi$ga
Risposte: 6
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Re: Disuguaglianza $\phi$ga

Mmm, quel lato mi è ostico, ma rilancio con \[ \sum_{i=1}^{2n} \varphi(i) < (2n)^2 \frac{6}{\pi^2} \sim n^2 \cdot 2.43.. \] che unito al fatto tuo è bello, perchè insomma, \(LHS\) va proprio come \(n^2\) ! P.S. Il problema è strafigo fes ma purtroppo lunedì ho la maturità, e tutto ciò che faccio sul...
da Gottinger95
26 giu 2014, 20:34
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Oppa Eulero style
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Re: Oppa Eulero style

Si, bravo! C'è giusto una soluzione del (2) più semplice che non passa per i primi e che, tra i 4, fa eccezione nel metodo (me ne sono accorto dopo). Adotto una notazione più comoda per non morire di latex (cit.): se \(f(n)\) è una funzione aritmetica, chiamo \[ f^* = \sum_{n \in \mathbb{n} } \frac{...
da Gottinger95
26 giu 2014, 20:07
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
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Re: Tanti liberi da quadrati

Se fosse vero questo lemma: Densità. Sia \(A \subseteq \mathbb{N} \). Indichiamo \( S(x)= S \cap [1, \ldots, x] \) , dove \(S\) è un generico insieme. Allora, detta \(d(A)\) la densità di \(A\), si ha : \[ d(A) = \lim_{x \to \infty} \left ( \sum_{a \in A(x) } \frac{1}{a} \right )\left ( \sum_{n \in ...
da Gottinger95
26 giu 2014, 14:59
Forum: Algebra
Argomento: Altre radici dell'unità
Risposte: 21
Visite : 4573

Re: Altre radici dell'unità

Se fosse di modulo 1, sono d'accordo, infatti, detti \(a= \sqrt{2}-1 , b= \sqrt{2-2\sqrt{2} } \), consideriamo: \[ p(x) = (x+a+b)(x-a-b)(x+a-b)(x-a+b) = (x^2-(a+b)^2 ) (x^2-(a-b)^2) = \] \[= x^4 - [ (a+b)^2+(a-b)^2 ] x^2 + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2( a^2+b^2) + (a^2-b^2)^2 = x^4 -2x^2+(a^2-b^2)^2 \] us...
da Gottinger95
26 giu 2014, 14:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 9040

Re: Tanti liberi da quadrati

Basta pensare che, per ogni quadrato \(q\) in \(1, \ldots, n/s\), dove \(s\) è uno squarefree \(\le n\), esiste un non-squarefree, precisamente \(qs\), in \(1,\ldots, n\). Anzi, questa è una bigezione, perchè vale anche il contrario: ogni non-squarefree è composto da uno squarefree \(\le n\) e un qu...
da Gottinger95
25 giu 2014, 19:20
Forum: Glossario e teoria di base
Argomento: Equazioni Diofantee
Risposte: 1
Visite : 1769

Re: Equazioni Diofantee

Ciao! Guarda, il post andrebbe in teoria dei numeri perchè le equazioni diofantee parlano di numeri interi. Comunque ti rispondo qui, magari lo sposteranno i moderatori :D Innanzitutto vediamo le Condizioni necessarie. Siano \(a,b,c,d\) degli interi, e sia \(m=MCD(a,b,c)\). Affinchè l'equazione in \...
da Gottinger95
24 giu 2014, 17:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 9040

Re: Tanti liberi da quadrati

Sii! Volentieri :) Una funzione strana: \(\mu(n)\) Sia \(n=p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k ^{\alpha_k}\) (*). Se c'è un \(\alpha_i \ge 2\), allora \(\mu(n)=0\); altrimenti \(\mu(n) = (-1)^{k}\). Inoltre \(\mu(1) = 1\). E' facile vedere che \(\mu(n)\) è moltiplicativa, ossia se \(a,b\) sono cop...
da Gottinger95
21 giu 2014, 19:49
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 9040

Re: Tanti liberi da quadrati

Siano: 1. \(A_n = \{1,\ldots,n\}\); 2. \(R_n= \{ a \in A_n : \ \ \forall p \in \mathbb{P} \ \ p^2 \nmid n\} = \{\mbox{squarefree } \le n \} \); 3. \(L_p= \{ a \le n \ : \ \ \exists p\in \mathbb{P} \ \ p^2 \mid a\}\); 4. \(\displaystyle P_n = \prod_{ p \le n} p\). La tesi è che \(|R_n| > \frac{n}{2}\...
da Gottinger95
20 giu 2014, 22:56
Forum: Algebra
Argomento: Altre radici dell'unità
Risposte: 21
Visite : 4573

Re: Altre radici dell'unità

Eeh, mi era rimasto in mente quel teorema non del tutto ovvio, e mi è venuta in mente una dimostrazione (che poi insomma, il grosso è dimostrare il teorema di Liouville, nonstante anche la sua dimostrazione non sia troppo complicata). Lo dimostrerò solo per gli algebrici di grado \(\ge 2\), che è la...
da Gottinger95
19 giu 2014, 18:35
Forum: Algebra
Argomento: Disuguaglianza con coefficienti binomiali
Risposte: 3
Visite : 1782

Re: Disuguaglianza con coefficienti binomiali

Vogliamo dimostrare che per induzione su \(n\) che, fissato \(d\), \( \binom{n}{d} > 2(d-1)(n-d-1)\), oppure che ho sbagliato. Caso base: \(n=d+2\). Si ha \[ \frac{(d+2)(d+1)}{2} \stackrel{?}{>} 2(d-1) \ \ \Leftrightarrow \ \ \ d^2 -d+6 \stackrel{?}{>} 0 \] Il \(\Delta\) è negativo e il coefficiente...