La ricerca ha trovato 295 risultati

da kalu
26 gen 2013, 17:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 143. Brutti razionali
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Re: 143. Brutti razionali

Funziona per qualsiasi $n$, basta scegliere $k=n$ o $k=-n$: nel primo caso si ottiene \displaystyle\frac{(a+n)+(b+n)}{(a+n)^2+(b+n)^2}=\frac{1}{2n} ; nel secondo \displaystyle\frac{(a-n)+(b-n)}{(a-n)^2+(b-n)^2}=-\frac{1}{2n} BONUS. Sia $T_n=\{(a,b) \ : \ a,b\in \mathbb{Q}^2, \ a^2+b^2=2n^2\}$ Dimost...
da kalu
25 gen 2013, 14:16
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$
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Re: 141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$

Si hai ragione :D Si ha che $ 5^{2p}\equiv 1\mod q $ e che $ 5^{2q}\equiv 1\mod p $. Quindi si ha che $ ord_{q}(5)|2p $ e quindi $ ord_{q}(5)= 1,2,p$ o $2p$. Se l'ordine fosse 1 o 2 si avrebbe q=2 e q=3 da cui le soluzioni $ (2,2),(13,2),(3,3),(7,3) $ (le soluzioni simmetriche si trovano ponendo p=...
da kalu
24 gen 2013, 23:12
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 140. Un simpatico problema indiano
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Re: 140. Un simpatico problema indiano

Siano $n=kx, m=ky$ con $(x,y)=1$, x>y ; $t=b^k.$ Supponiamo $p$ primo dispari tale che $p\mid t^{x}-1 \to p\mid t^{y}-1 \to p\mid t-1.$ . Scusate ma non ho ben capito questo passaggio... :oops: Se qualcuno avesse la voglia di spiegarmelo ne sarei molto grato :P Ma certo :) Abbiamo supposto che $p$ ...
da kalu
24 gen 2013, 22:58
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$
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Re: 141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$

Con semplici considerazioni sull'ordine di 5 modulo p e q arrivi a casi piccoli che si fanno a mano. Le soluzioni dovrebbero essere (2,2),(3,3),(2,13),(13,2),(7,3),(3,7). Esatto :) Però per avere il testimone credo che occorra darne una dimostrazione completa :roll: Vediamo.. Posso scrivere $p \mid...
da kalu
24 gen 2013, 17:27
Forum: Geometria
Argomento: 39. Tangente in P e due circonferenze.
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Re: 39. Tangente in P e due circonferenze.

Sia $C=XB \cap YA$, $T=AB\cap XY$. Suppongo WLOG $AT<BT$. È noto che i triangoli pedali di due coniugati isogonali sono inscritti nella stessa circonferenza, quindi basta dimostrare che il coniugato isogonale di $P$ rispetto a $ABC$ è sull'asse di $AB$. Uso le notazioni standard sul triangolo $ABC$....
da kalu
24 gen 2013, 14:04
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$
Risposte: 6
Visite : 1510

141. $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$

Trovare tutte le coppie di primi $(p, q)$ tali che: $p\mid 5^q+1$, $q\mid 5^p+1$
(facile, vecchio TST italiano)
da kalu
23 gen 2013, 20:50
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 140. Un simpatico problema indiano
Risposte: 5
Visite : 1062

Re: 140. Un simpatico problema indiano

Siano $n=kx, m=ky$ con $(x,y)=1$, x>y ; $t=b^k.$ Supponiamo $p$ primo dispari tale che $p\mid t^{x}-1 \to p\mid t^{y}-1 \to p\mid t-1.$ Per LTE v_p(t^x-1)=v_p(t-1)+v_p(x) . Inoltre, se $2\mid t^x-1$, $v_2(t^x-1)=v_2(t^2-1)+v_2(x)-1$. Quindi $t^x-1\mid x(t^2-1) \to t^x< xt^2 \to t^{x-2}< x$. Se $x=3$...
da kalu
17 gen 2013, 20:40
Forum: Combinatoria
Argomento: $\bigcap_{i=0}^n{X_i}= \emptyset$
Risposte: 6
Visite : 1134

Re: $\bigcap_{i=0}^n{X_i}= \emptyset$

Seconda soluzione, un po' più decente. Fissato $k$, sia $f(n)$ il numero cercato. Sia $X_1,X_2,\ldots,X_k$ una sequenza di sottoinsiemi di $\{1,2,…,n\}$ tali che $\displaystyle \bigcap_{i=1}^k{X_i}= \emptyset$. Per ogni $1\leq i \leq k$ sia $Y_i\subseteq \{1,2,…,n+1\}$ tale che Y_i=X_i \vee Y_i=X_i\...
da kalu
17 gen 2013, 19:29
Forum: Combinatoria
Argomento: $\bigcap_{i=0}^n{X_i}= \emptyset$
Risposte: 6
Visite : 1134

Re: $\bigcap_{i=0}^n{X_i}= \emptyset$

Fissato $k$ e detto $f(n)$ il numero cercato, vogliamo dimostrare per induzione su $n$ che $f(n)=(2^k-1)^n$ Per $n=0$ deve essere X_i=\emptyset \ \forall \ 1\leq i \leq k , quindi $f(0)=1$. Supponiamo che $f(i)=(2^k-1)^i \ \forall \ 0\leq i < n$. Per ogni $Y\subseteq \{1,2,\ldots,n\}$ esistono esatt...
da kalu
15 gen 2013, 17:33
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Winter Camp 2013
Risposte: 81
Visite : 17005

Re: Winter Camp 2013

si
da kalu
14 gen 2013, 22:37
Forum: Combinatoria
Argomento: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Risposte: 9
Visite : 1309

Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

A grande richiesta, la soluzione combinatorica: Fissato $n$, per ogni $1\leq k < n$ sia T_k l'insieme delle permutazioni \tau di {1, 2, ..., n } tali \tau(i)>\tau(j) \ \forall \ 1\leq i<j\leq k , \tau(k+1)>\tau(k) . Si dimostra che \displaystyle |T_k|=\frac{n!k}{(k+1)!} . I T_i sono tutti disgiunti ...
da kalu
14 gen 2013, 22:06
Forum: Combinatoria
Argomento: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Risposte: 9
Visite : 1309

Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Va bene era ufficilamente una sciocchezza :D La mia induzione era su $n$ per \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{(i+1)!}}=1-\frac{1}{(n+1)!} , mentre della soluzione combinatorica è meglio che non parli xD Vorrà dire che la prossima volta che penso di aver trovato qualcosa di carino prima di dirlo...
da kalu
14 gen 2013, 21:47
Forum: Combinatoria
Argomento: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Risposte: 9
Visite : 1309

Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero). Comunque si vede che non ti piace la combinatoria :P Ahah xD ...
da kalu
14 gen 2013, 21:18
Forum: Combinatoria
Argomento: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Risposte: 9
Visite : 1309

$\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$

Non dubito che sia arcinoto, ma io me ne sono accorto ora: $$\sum_{i\in N}\frac{i}{(i+1)!}=1$$
Dimostratelo!
da kalu
11 gen 2013, 14:17
Forum: Fisica
Argomento: Corda fissata agli estremi
Risposte: 2
Visite : 4195

Corda fissata agli estremi

A letto con la febbre per un paio di giorni, non avendo altro da fare ho pensato a questo problema (magari noto, magari extra-noto), che giudico carino :| Abbiamo una corda (inestendibile, omogenea... insomma ideale) di lunghezza $2L$ e massa $m$, e ne fissiamo gli estremi a due chiodi posti alla st...