La ricerca ha trovato 295 risultati

da kalu
24 apr 2013, 01:35
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 149. Bastano $n$ residui $n$-esimi
Risposte: 9
Visite : 1880

Re: 149. Bastano $n$ residui $n$-esimi

Ma che poi in realtà una dimostrazione elementare forse esiste. Innanzitutto notiamo che basta dimostrare la tesi per $n\mid p-1$. Infatti, preso $n\mid p-1$ e $k$ tale che $(k, \frac{p-1}{n})=1$, si ha che i residui $n$-esimi sono uguali ai resuidi $nk$-esimi, perciò se $n$ va bene per $nk$ basta p...
da kalu
23 apr 2013, 22:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 149. Bastano $n$ residui $n$-esimi
Risposte: 9
Visite : 1880

Re: 149. Bastano $n$ residui $n$-esimi

Troleito br00tal ha scritto:own
Mi prostro. Perdonate la spam.
da kalu
23 apr 2013, 01:00
Forum: Geometria
Argomento: Incentro e circonferenze tangenti
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Re: Incentro e circonferenze tangenti

Sia $T_A$ l'intersezione tra $BC$ e la tangente comune all'incerchio e alla circonferenza per $B, C$. $T_A$ ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, quindi $$T_AB\cdot T_AC=T_AX^2=T_AP^2$$ Usando la notazione standard si ha $BC=a$, $\displaystyle BP=\frac{a+c-b}{2}$, $\displaystyle PC=\...
da kalu
21 apr 2013, 18:04
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 148. Altezza diadica pari
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Visite : 1038

Re: 148. Altezza diadica pari

Si :wink:
da kalu
21 apr 2013, 16:49
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 148. Altezza diadica pari
Risposte: 2
Visite : 1038

148. Altezza diadica pari

Siano $a, b>1$ interi tali che $ab=2^n-1$ per qualche $n$.
Detto $v_2(k)=max\{x\ : \ 2^x\mid k\}$, si dimostri che $$2|v_2(ab+a-b-1)$$
da kalu
21 apr 2013, 15:24
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 147. Funzione d(n)
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Visite : 1494

Re: 147. Funzione d(n)

Dato che la risposta di Karl tarda ad arrivare, se qualcuno esperto mi desse conferma dell'esattezza della soluzione andrei avanti con il prossimo.
da kalu
21 apr 2013, 15:19
Forum: Geometria
Argomento: 54. I vietnamiti lo sanno
Risposte: 3
Visite : 1158

54. I vietnamiti lo sanno

Un forumista di AoPS lo dava per noto risolvendo in 5 righe un problema che in 5 righe non poteva essere risolto (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=49&t=35309), e io solo per capire perchè era vero ci ho messo un'ora e mezza. Dato un quadrilatero $ABCD$ circoscritto ad una cir...
da kalu
21 apr 2013, 11:16
Forum: Geometria
Argomento: 53. Un angolo
Risposte: 2
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Re: 53. Un angolo

L'angolo $\angle BAC$ sul circocerchio e l'angolo $\angle QAP=180-\angle BAC$ sulla crf. per $A$ e $O$ insistono su archi congruenti, quindi per il teorema del seno le due circonferenze hanno lo stesso raggio. Ne consegue che, detto $O'$ il centro della seconda crf, $\triangle AOO'$ è equilatero, e ...
da kalu
19 apr 2013, 16:43
Forum: Geometria
Argomento: 51 Ancora allineamenti
Risposte: 4
Visite : 1053

Re: 51 Ancora allineamenti

In un altro modo ancora: Sia $P$ l'intersezione fra $AB$ e la parallela a $BC$ condotta da $K'$; $I_A$ l'excentro; $Q$ la proiezione di $I$ su $AB$. Si nota per angle chasing che $\triangle K'IP \approx \triangle BKI \approx \triangle BI_AJ $ Quindi $\displaystyle\frac{PK'}{BJ}=\frac{PI}{BI_A}=\frac...
da kalu
17 apr 2013, 18:27
Forum: Geometria
Argomento: 51 Ancora allineamenti
Risposte: 4
Visite : 1053

Re: 51 Ancora allineamenti

Ok vai pure :)
da kalu
17 apr 2013, 17:12
Forum: Geometria
Argomento: 51 Ancora allineamenti
Risposte: 4
Visite : 1053

51 Ancora allineamenti

Preso un triangolo $ABC$ di incentro $I$, siano $K$ e $J$ i punti di tangenza di $BC$ rispettivamente con l'incerchio e l'ex-cerchio opposto ad $A$.
Detto $K'$ il simmetrico di $K$ rispetto a $I$, dimostrare l'allineamento $A, \ K', \ J$.
da kalu
17 apr 2013, 15:21
Forum: Geometria
Argomento: 50. Quadrilatero convesso e concorrenze
Risposte: 2
Visite : 621

Re: 50. Quadrilatero convesso e concorrenze

$$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \triangle BCE \approx \triangle CDE \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ CE^2=BE\cdot DE$$ Inoltre $$CE=PE$$ $$BE=\frac{ER}{\tan \angle RBE}$$ $$DE=EA \cdot \tan \angle DAE$$ Quindi $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ PE^2=ER\cdot EA \cdot \frac{\tan \angle...
da kalu
16 apr 2013, 22:07
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: 147. Funzione d(n)
Risposte: 3
Visite : 1494

Re: 147. Funzione d(n)

Data la bruttezza della soluzione (ma la staffetta must go on) tanto vale almeno generalizzare. Fissato un intero $k>1$, consideriamo la funzione $$f(n)=d((n^2+1)^k)$$ Dimostriamo innanzitutto che vale definitivamente: $$f(n!)^{2}<n!^2+1$$ $$f(n!)^2=\prod_{p\mid n!^2+1}{(kv_p(n!^2+1)+1)^2}\leq \prod...
da kalu
16 apr 2013, 01:09
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: EGMO 2013 ($n^4$)
Risposte: 9
Visite : 1621

Re: EGMO 2013 ($n^4$)

il problema è che il testo è sbagliato: il problema originale chiede $\frac{n^5+a}{b} \in \mathbb{N}$, per qualche intero $a,b >0$ e almeno tre interi consecutivi $n$.. Ah ok... mi sembrava un po' troppo semplice per essere EGMO xD Vogliamo $b$ tale che per qualche $n$ valga $$(n-1)^5\equiv n^5\equ...
da kalu
16 apr 2013, 00:35
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: EGMO 2013 ($n^4$)
Risposte: 9
Visite : 1621

Re: EGMO 2013 ($n^4$)

invarianza rispetto all'elevamento a potenza, si può applicare anche al contrario? No, non si può. Ad esempio $2^4\equiv 4^4 \pmod 3$ ma $2\not\equiv 4 \pmod 3$. Provo io: Vogliamo $b$ tale che per qualche $n$ valga $$(n-1)^4\equiv n^4\equiv (n+1)^4 \pmod b$$ Da cui si deduce subito che $(b,2)=(b,n...