La ricerca ha trovato 295 risultati

da kalu
09 ott 2012, 20:31
Forum: Algebra
Argomento: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$
Risposte: 3
Visite : 527

Re: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Ok, era facile :lol:
A te Karl Zsigmondy :)
da kalu
09 ott 2012, 17:41
Forum: Algebra
Argomento: 58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$
Risposte: 3
Visite : 527

58. $ \ \sum{\frac{a^2}{a+b}}\geq\sum{\frac{a}{2}}$

Dimostrare che: $$\displaystyle \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{2}$$ per ogni terna $ (a, b, c) $ di reali positivi.
da kalu
07 ott 2012, 15:53
Forum: Algebra
Argomento: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2
Risposte: 6
Visite : 675

Re: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2

Ok, allora risolviamo il problema giusto. Sia g(x)=f(x)-1 . La disequazione diventa: $$g(km)+g(kn)-g(k)g(mn)-g(k)-g(mn)\geq 0$$ \bullet \ k=m=n=1 $$g^2(1) \leq 0 \ \ \to \ \ g(1)=0$$ \bullet \ k=1, \ m=n \to x $$2g(x) \geq g(x^2)$$ \bullet \ m=1, \ k=n \to x $$g(x^2) \geq g^2(x)+g(x)$$ \bullet Compo...
da kalu
06 ott 2012, 18:12
Forum: Algebra
Argomento: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2
Risposte: 6
Visite : 675

Re: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2

Uhm, direi che c'è qualcosa che non torna nel testo... :? $f:\mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ [...] $\text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}$ Immagino che anche il secondo sia $\mathbb N_0$, e in questo caso 0\not\in\mathbb N_0 , quindi salta la dimostrazione (anche perchè è identica alla prima parte ) ...
da kalu
06 ott 2012, 15:21
Forum: Algebra
Argomento: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2
Risposte: 6
Visite : 675

Re: 57. $f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1$ - part 2

\bullet k=m=n=0 : $$\bigl(f(0)-1\bigl)^2\leq 0 \to f(0)=1$$ \bullet k=m=n=1 : $$\bigl(f(1)-1\bigl)^2\leq 0 \to f(1)=1$$ \bullet m=n=1 , k \to x : $$f(x)\geq 1$$ \bullet k=0 , m=1 , n \to x : $$f(x)\leq 1$$ Quindi: 1\leq f(x) \leq 1 \forall x \in \mathbb{N}_0 \to f(x)=1 \forall x \in \mathbb{N}_0 . ...
da kalu
06 ott 2012, 14:03
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $q\mid p(n)+2^n$
Risposte: 1
Visite : 503

Re: $q\mid p(n)+2^n$

Suppongo che l'insieme Q dei primi che dividono 2^n+p(n) per qualche n sia finito. Sia k intero positivo tale che: $$\displaystyle 2p(0)\biggl(1+p(0)\biggl) \prod_{q\in Q/\{2\}}{q(q-1)} \mid k$$ Per ogni q\in Q/\{2\} ho che: $$\begin{cases} q-1 \mid k \\ q \mid k \end{cases} \to 2^k+p(k) \equiv 1+p(...
da kalu
05 ott 2012, 21:16
Forum: Geometria
Argomento: Easy one sull'inversione
Risposte: 6
Visite : 982

Re: Easy one sull'inversione

Dato che tutto tace, avanzerei qualche dubbio: non mi torna :oops: Il testo lascia intendere che A', B', C' debbano andare rispettivamente in D, E, F (e pensandoci un secondo concluderei che non può che essere così), quindi sembrerebbe che il centro di inversione debba essere l'ortocentro (intersezi...
da kalu
05 ott 2012, 15:14
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$
Risposte: 9
Visite : 1279

Re: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$

Beh $ k=0 $, lì è abbastanza banale direi :)

P.S. Per completezza: nel caso in cui $ k $ sia nullo basta che $ m=n $ (e non è difficile dimostrare che è anche necessario :wink: )
da kalu
05 ott 2012, 14:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$
Risposte: 9
Visite : 1279

Re: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$

Sbaglio o mi basta prendere le coppie della forma $ (ka, kb) $, con $ a, b $ tali che $ \displaystyle \frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a} \in \mathbb{N} $?
da kalu
05 ott 2012, 13:59
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$
Risposte: 9
Visite : 1279

Re: $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} \in \mathbb{N}_0$

LEMMA DI PELL Esistono infinite coppie ($x$, $y$) di interi positivi tali che $$x^2-3y^2=1$$ Noto che (2, 1) risolve l'equazione. Suppongo per assurdo che le soluzioni siano in numero finito. Sia allora ($X$, $Y$) la coppia risolutiva tale che il prodotto $XY$ sia massimo. Noto che: $\bigl(X^2+3Y^2\...
da kalu
04 ott 2012, 18:56
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $a+be | ab+e$
Risposte: 4
Visite : 744

Re: $a+be | ab+e$

Considero le successioni A_i , B_i così definite: \displaystyle \begin{cases} a_1=5 \\ b_1=3 \\ a_{n+1}=-a_n^2-1+3a_nb_n\\ b_{n+1}=a_n^2+1-a_nb_n \end{cases} Per ogni i vale la seguente relazione: a_i^2+2=3b_i^2 . Il passo base è banale. Suppongo la relazione vera per n . Allora: \displaystyle 3b_{n...
da kalu
02 ott 2012, 15:26
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $x^{k}+px=y^{k}$
Risposte: 2
Visite : 377

Re: $x^{k}+px=y^{k}$

Siano x=da , y=db con (a, b)=1 . Sostituendo e semplificando ottengo d^{k-1}a^k+pa=d^{k-1}b^k . Deve valere \begin{cases} a \mid d^{k-1} \\ d^{k-1} \mid pa \end{cases} , quindi d^{k-1}=a \vee d^{k-1}=pa . Distinguo i due casi. Se d^{k−1}=pa ho a^k+1=b^k . Noto che a-b|a^k-b^k=1 , quindi b=a+1 . Sost...
da kalu
01 ott 2012, 21:47
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: $a^p+b^p=p^c $
Risposte: 5
Visite : 568

Re: $a^p+b^p=p^c$

Sia a=dx , b=dy con d=(a, b) . E' evidente che d deve essere una potenza di p , dunque srivo d=p^k . Semplificando ottengo x^p+y^p=p^{\gamma} , dove \gamma=c-kp . Se p=2 , dato che x, y sono entrambi dispari (essendo coprimi non possono essere entrambi pari), ho che x^2+y^2 \equiv 2 \pmod{4} . Quind...
da kalu
25 set 2012, 17:22
Forum: Geometria
Argomento: Troppi cerchi
Risposte: 3
Visite : 911

Re: Troppi cerchi

PARTE 1 Siano A', B', C' i punti medi di AO , BO , CO . \triangle A'B'C' è omotetico di \triangle ABC rispetto a O , quindi ha anch'esso O per circocentro . [edit] EF , FD , DE sono assi di AO , BO , CO ; quindi tangono il circocerchio di \triangle A'B'C' : dunque O è l'incentro di \triangle DEF . ...
da kalu
20 set 2012, 21:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Se [tex]\text{lcm}(a,b,c,d)=a+b+c+d[/tex]
Risposte: 4
Visite : 438

Re: Se [tex]\text{lcm}(a,b,c,d)=a+b+c+d[/tex]

jordan ha scritto:
kalu ha scritto:Noto che $ 2b<2b+2c+2d<6b $, e $ S $ non può essere multiplo di 3 per quanto già detto.
Qui dovresti esplicitare che hai assunto wlog $b=\max\{b,c,d\}$.
Idem sotto, all'inizio del Caso B, assumendo che $c>d$.
Non hai letto il secondo rigo della mia soluzione :D