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Per ogni numero naturale $n$ si ha $n!=1\cdot2\cdot...\cdot n$ il prodotti di tutti i numeri interi da $1$ a $n$.
Si dimostri che per ogni $n\geq3$ esistono $n$ interi positivi distinti $d_1,d_2,...,d_n$ divisori di $n!$ tali che: $n!=d_1+d_2+...+d_n$.

$1+2^x=y^2$
$y^2-1=2^x$
$(y+1)(y-1)=2^x$. Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .
Da cui $y=3$ e $x=3$ sono le uniche soluzioni.

Determinare tutti i valori positivi del parametro $\alpha$ per cui si ha che: $\displaystyle x^\alpha + y^\alpha + z^\alpha + w^\alpha \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ per ogni quaterna di numeri reali positivi e tali che $xyzw=1$ E' giusto iniziare ponendo $\displaystyle y...

Credo di aver capito, allora l'idea chiave è sommare la probabilità di vincerne:
-esattamente 2 del secondo tipo e almeno 3 del primo
-esattamente 3 del secondo tipo e almeno 2 del primo
-esattamente 4 del secondo tipo e almeno 1 del primo
corretto?

Se io calcolo la probabilità di vincerne almeno 3 del primo tipo e almeno 2 delo secondo tipo allora ho la certezza di averne vinte almeno 5 ,o sbaglio?

La prima cosa è calcolare la probabilità di vincerne almeno 3 del primo tipo, poi la probabilità di vincerne almeno due del secondo. La probabilità di vincerne almeno 3 del primo tipo è:la probabilità di vincerne 3 + la probabilità di vincerne 4 + la probabilità di vincerne 5. 3)$\binom{5}{3} \frac{...

Le cose stanno messe così, per accedere a quello base (dato che ci sono troppe domande di iscrizione e circa 50 posti disponibili) devi fare un test d'ingresso,diviso fra biennio e triennio. Non puoi partecipare lo stesso anno a quello avanzato, al limite l'anno prossimo e per fare quello avanzato n...

L'idea non è sbagliata,ma se poni che $x^2=np$ e $y^2=mq$ allora diventa $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=1$ Ora non sto a dimostrarlo ma gli unici numeri che soddisfano questa equazione sono $m=n=2$, da qui se vogliamo moltiplicare $m$ per un primo tale che ci risulti un quadrato perfetto l'unica scelta è ...

Posso provare a spiegartelo così... se abbiamo una qualsiasi frazione, per ottenere un intero dobbiamo aggiungere il pezzo che gli manca per arrivare a uno e poi un qualsiasi intero a piacere. Esempio $\frac{x}{y}$ con $x<y$, dobbiamo aggiungergli $\frac{y-x}{y}$ e poi un intero a caso $n$. In ogni ...

Secondo voi per dimostrare che $x^2$ e $y^2$ sono uguali questo viewtopic.php?f=13&t=14994&p=127231&hil ... A0#p127231 può andare bene?

Prendendo spunto (molto spunto...) dalla soluzione dell'esercizio 5 di cese 2011,provo a farlo allo stesso modo. Ripartiamo dal fatto che $n$ è dispari, allora lo chiamo $2k+1$(seguendo il consiglio di drago96 :D ). Da qui arrivo a $a^3=k^2+k-1$, quindi $(a+1)(a^2-a+1)=k(k+1)$, e da qui distinguiamo...

Uhm... purtroppo hai ragione,mi sono reso conto dell'errore :( provo a spiegarmi con più parole,così l'errore salta fuori. Io mi sono impantanato su questo punto: sapendo che $n$ deve essere dispari,allora l'ho chiamato $2n+1$. Da qui si ha che $a^3=n^2+n-1$, quindi;per quali valori di $n$ questo è ...

Se $4a^3+5=n^2$,purchè un quadrato perfetto meno cinque sia divisibile per 4,allora $n$ deve per forza essere dispari. da qui vedo che se $n=3$ allora $a^3=1$,se $n=5$ allora $a^3=5$.aumentando ogni volta $n$ di 2 (mantenendolo sempre dispari) mi accorgo che $a^3$ è sempre somma di numeri pari,infat...

Vado col pr-imo :mrgreen: : se pongo $2^n-1=7$ allora verrà $n=3$. Se n fosse pari posso anche scomporre $2^n-1$ in $(2^{\frac{n}{2}}-1)(2^{\frac{n}{2}}+1)$. Da qui se eguaglio il secondo fattore a 7 (poichè esso è primo) mi verrà un $n$ non intero ma se eguaglio a $7$ il primo mi verrà $n=6$. Da qu...

Vorrei provare a dare una soluzione diversa da quella di Giulius,il fatto è che non sono sicuro che sia del tutto esatta e vorrei che qualcuno più esperto di me mi dicesse se va bene o no, anche perchè mi sono basato più su ragionamenti logici che su formule. Se è giusto che -le radici cubiche di nu...